|
|
Учебник для 9 класса Информатика и ИКТ§ 1.1. Системы счисленияКлючевые слова:
1.1.1. Общие сведения о системах счисления
Рис. 1.1. В любой системе счисления цифры служат для обозначения чисел, называемых узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел. Пример 1. У вавилонян узловыми являлись числа 1, 10, 60; в римской системе счисления узловыми являются числа 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000, обозначаемые соответственно I, V, X, L, С, D, М. Системы счисления различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. Можно выделить следующие виды систем счисления:
Простейшая и самая древняя система — так называемая унарная система счисления. В ней для записи любых чисел используется всего один символ — палочка, узелок, зарубка, камушек. Длина записи числа при таком кодировании прямо связана с его величиной, что роднит этот способ с геометрическим представлением чисел в виде отрезков. Именно унарная система лежит в фундаменте арифметики, и именно она до сих пор вводит первоклассников в мир счёта. Унарные системы ещё называют системами бирок.
В непозиционных системах счисления числа образуются путём сложения узловых чисел. Пример 2. В древнеегипетской системе счисления числа 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 обозначались соответственно следующим образом:
Те же числа в римской системе счисления обозначаются так: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.
Десятичная система записи чисел, которой мы привыкли пользоваться в повседневной жизни, с которой мы знакомы с детства, в которой производим все наши вычисления, — пример позиционной системы счисления. В ней алгоритмические числа образуются следующим образом: значения цифр умножаются на «веса» соответствующих разрядов и все полученные значения складываются. Это отчётливо прослеживается в числительных русского языка, например: «три-ста пять-десят семь». Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1. Алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Алфавитом произвольной позиционной системы счисления с основанием q служат числа 0, 1, ..., q-1, каждое из которых может быть записано с помощью одного уникального символа; младшей цифрой всегда является О. Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел. В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:
Здесь: A — число; q — основание системы счисления; a1 — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления; n — количество целых разрядов числа; m — количество дробных разрядов числа; q1 — «вес» i-гo разряда. Запись числа по формуле (1) называется развёрнутой формой записи. Свёрнутой формой записи числа называется его представление в виде ±an-1an-2...a1a0,a-1...a-m1 1 Далее будут рассматриваться только положительные целые числа. Пример 3. Рассмотрим десятичное число 14351,1. Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме переходим к развёрнутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и складывая полученные произведения: 1 • 104 + 4 • 103 + 3 • 102 + 5 • 101 + 1 • 100 + 1 • 10-1. 1.1.2. Двоичная система счисленияДвоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2. Для записи чисел в двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1. На основании формулы (1) для целых двоичных чисел можно записать:
Например: 100112 = 1 • 24 + 0 • 23 + 0 • 22 + 1 • 21 + 1 • 20 = 24 + 21 + 20 = 1910. Такая форма записи «подсказывает» правило перевода натуральных двоичных чисел в десятичную систему счисления: необходимо вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа. Получим из формулы (1') правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления. Разделим аn-1 • 2n-1 + аn-2 • 2n-2 + ... + а0 • 20 на 2. Частное будет равно аn-1 • 2n-2 + ... + а1, а остаток будет равен а0. Полученное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен а1. Если продолжить этот процесс деления, то на n-м шаге получим набор цифр: а0, a1, a2, ..., an-1 которые входят в двоичное представление исходного числа и совпадают с остатками при его последовательном делении на 2. При записи исходного числа в двоичной системе счисления следует учитывать, что остатки от деления на 2 нами получены в порядке, обратном порядку расположения соответствующих цифр в двоичном представлении исходного числа. Пример 4. Переведём десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так:
Выписывая остатки от деления в направлении, указанном стрелкой, получим: 1110 = 10112. Пример 5. Если десятичное число достаточно большое, то более удобен следующий способ записи рассмотренного выше алгоритма:
36310 = 1011010112 1.1.3. Восьмеричная система счисленияВосьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8. Для записи чисел в восьмеричной системе счисления используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. На основании формулы (1) для целого восьмеричного числа можно записать:
Например: 10638 = 1 • 83 + 0 • 82 + 6 • 81 + 3 • 80 = 56310 Таким образом, для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения. Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в новой системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего. Пример 6. Переведём десятичное число 103 в восьмеричную систему счисления.
10310 = 1478 1.1.4. Шестнадцатеричная система счисленияОснование: q = 16. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F. Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0,..., 9. Для записи цифр с десятичными количественными эквивалентами 10, 11, 12, 13, 14, 15 обычно используются первые пять букв латинского алфавита. Таким образом, запись 3AF16 означает: 3AF16 = 3 • 162 + 10 • 161 + 15 • 160 = 768 + 160 + 15 = 94310. Пример 7. Переведём десятичное число 154 в шестнадцатеричную систему счисления.
15410 = 9А16 1.1.5. Правило перевода целых десятичных чисел в систему счисления с основанием qДля перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием q следует:
Составим таблицу соответствия десятичных, двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел от 0 до 20.
В Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов (http://school-collection.edu.ru/) размещена интерактивная анимация «Преобразование десятичного числа в другую систему счисления». С её помощью можно понаблюдать за переводом произвольного целого числа от 0 до 512 в позиционную систему счисления, основание которой не превышает 16. В размещённой там же виртуальной лаборатории «Цифровые весы» вы сможете освоить ещё один способ перевода целых десятичных чисел в другие системы счисления — метод разностей. 1.1.6. Двоичная арифметикаАрифметика двоичной системы счисления основывается на использовании следующих таблиц сложения и умножения:
Пример 8. Таблица двоичного сложения предельно проста. Так как 1 + 1 = 10, то 0 остаётся в данном разряде, а 1 переносится в следующий разряд.
Пример 9. Операция умножения выполняется по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.
Таким образом, в двоичной системе умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям. 1.1.7. «Компьютерные» системы счисленияВ компьютерной технике используется двоичная система счисления, обеспечивающая ряд преимуществ перед другими системами:
Обмен информацией между компьютерными устройствами осуществляется путём передачи двоичных кодов. Пользоваться такими кодами из-за их большой длины и зрительной однородности человеку неудобно. Поэтому специалисты (программисты, инженеры) на некоторых этапах разработки, создания, настройки вычислительных систем заменяют двоичные коды на эквивалентные им величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления. В результате длина исходного слова сокращается в три, четыре раза соответственно. Это делает информацию более удобной для рассмотрения и анализа. С помощью ресурса «Интерактивный задачник, раздел “Системы счисления”» (http://school-collection.edu.ru/) вы сможете проверить, насколько прочно вы усвоили изученный в этом параграфе материал. Самое главноеСистема счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Знаки, при помощи которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления. Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения в записи числа. Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит. Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1. В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде: Здесь: А — число; q — основание системы счисления; аi — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления; n — количество целых разрядов числа; m — количество дробных разрядов числа; qi — «вес» i-гo разряда. Вопросы и задания
|
|
|