Учебник для 9 класса

Информатика и ИКТ

§ 2.2. Знаковые модели

Ключевые слова:

• словесные модели
• математические модели
• компьютерные модели

2.2.1. Словесные модели

Например, гелиоцентрическая модель мира, которую предложил Коперник, словесно описывалась следующим образом:

• Земля вращается вокруг своей оси и вокруг Солнца;
• орбиты всех планет проходят вокруг Солнца.

Множество словесных моделей содержится в ваших школьных учебниках: в учебнике истории представлены модели исторических событий, в учебнике географии — модели географических объектов и природных процессов, в учебнике биологии — модели объектов животного и растительного мира.

Произведения художественной литературы — это тоже модели, так как они фиксируют внимание читателя на определённых сторонах человеческой жизни. Анализируя литературное произведение, вы выделяете в нём объекты и их свойства, отношения между героями, связи между событиями, проводите параллели с другими произведениями и т. п. Самое непосредственное отношение к понятию модели имеет такой литературный жанр, как басня. Смысл этого жанра состоит в переносе отношений между людьми на отношения между вымышленными персонажами, например животными.

Такие особенности естественного языка, как многозначность, использование слов в прямом и переносном значении, синонимия, омонимия и т. п., придают человеческому общению выразительность, эмоциональность, красочность. Вместе с тем наличие этих особенностей делает естественный язык непригодным для создания информационных моделей во многих сферах профессиональной деятельности (например, в системах «человек — компьютер»).

2.2.2. Математические модели

Основным языком информационного моделирования в науке является язык математики.

Язык математики представляет собой совокупность множества формальных языков; с некоторыми из них (алгебраическим, геометрическим) вы познакомились в школе, другие сможете узнать при дальнейшем обучении.

Пример 1. На рис. 2.3 приведена геометрическая модель доказательства теоремы Пифагора. Она столь проста, что доказательство равенства с² = а² + b² становится очевидным.

Рис. 2.3.
Геометрическая модель доказательства теоремы Пифагора

Действительно, на рисунке представлены два одинаковых квадрата со стороной а + b. Если из площадей этих квадратов вычесть площади четырёх одинаковых прямоугольных треугольников, то оставшиеся площади должны быть равны. Но в первом случае оставшаяся площадь равна с², а во втором а² + b², что и доказывает теорему Пифагора.

Язык алгебры позволяет формализовать функциональные зависимости между величинами, записав соотношения между количественными характеристиками объекта моделирования. В школьном курсе физики рассматривается много функциональных зависимостей, которые представляют собой математические модели изучаемых явлений или процессов.

Пример 2. Зависимость координаты тела от времени при прямолинейном равномерном движении имеет вид:

х = х₀ + v_xt.

Изменение координаты тела х при прямолинейном равноускоренном движении в любой момент времени t выражается формулой:

С помощью языка алгебры логики строятся логические модели — формализуются (записываются в виде логических выражений) простые и сложные высказывания, выраженные на естественном языке. Путём построения логических моделей удаётся решать логические задачи, создавать логические модели устройств и т. д.

Пример 3. Требуется спроектировать электрическую цепь, показывающую итог тайного голосования комиссии в составе председателя и двух рядовых членов. При голосовании «за» каждый член комиссии нажимает кнопку. Предложение считается принятым, если члены комиссии проголосуют за него единогласно либо если свои голоса «за» отдадут председатель и один из рядовых членов комиссии. В этих случаях загорается лампочка.

Решение. Пусть голосу председателя соответствует переключатель А, голосам рядовых членов — переключатели Б и С. Тогда F(A,B,C) = A&B&CvA&BvA&C.

Упростим полученное логическое выражение:

F(A,B,C)=A&B&(Cvl)vA&C = A&B&lvA&C = A&BvA&C=A&(BvC).

Мы получили логическую модель, позволяющую построить следующую схему проектируемой электрической цепи:

2.2.3. Компьютерные математические модели

Многие процессы, происходящие в окружающем нас мире, описываются очень сложными математическими соотношениями (уравнениями, неравенствами, системами уравнений и неравенств). До появления компьютеров, обладающих высокой скоростью вычислений, у человека не было возможности проводить соответствующие вычисления, на счёт «вручную» уходило очень много времени.

В настоящее время самые сложные математические модели могут быть реализованы на компьютере. При этом используются такие средства, как:

• системы программирования;
• электронные таблицы;
• специализированные математические пакеты и программные средства для моделирования.

Математические модели, реализованные с помощью систем программирования, электронных таблиц, специализированных математических пакетов и программных средств для моделирования, называются компьютерными математическими моделями.

Средства компьютерной графики позволяют визуализировать результаты расчётов, получаемых в процессе работы с компьютерными моделями.

С помощью ресурса «Математическая модель» (http://school-collection.edu.ru/) вы сможете смоделировать полёт снаряда, выпущенного из пушки при различных исходных данных.

Особый интерес для компьютерного математического моделирования представляют сложные системы, элементы которых могут вести себя случайным образом. Примерами таких систем являются многочисленные системы массового обслуживания: билетные кассы, торговые предприятия, ремонтные мастерские, служба скорой помощи, транспортные потоки на городских дорогах и многие другие модели. Многим знакома ситуация, когда, придя в кассу, магазин, парикмахерскую, мы застаём там очередь. Приходится либо вставать в очередь и какое-то время ждать, либо уходить, т. е. покидать систему необслуженным. Возможны случаи, когда заявок на обслуживание в системе мало или совсем нет; в этом случае она работает с недогрузкой или простаивает. В системах массового обслуживания количество заявок на обслуживание, время ожидания и точное время выполнения заявки заранее предсказать нельзя — это случайные величины.

Имитационное моделирование — это искусственный эксперимент, при котором вместо проведения натурных испытаний с реальным оборудованием проводят опыты с помощью компьютерных моделей. Для получения необходимой информации осуществляется многократный «прогон» моделей со случайными исходными данными, генерируемыми компьютером. В результате образуется такой же набор данных, который можно было бы получить при проведении опытов на реальном оборудовании или в реальной системе. Однако имитационное моделирование на компьютере осуществляется гораздо быстрее и обходится значительно дешевле, чем натурные эксперименты.

С помощью ресурса «Имитационное моделирование» (http://school-collection.edu.ru/) вы сможете смоделировать ситуацию в системе массового обслуживания — магазине.

Самое главное

Словесные модели — это описания предметов, явлений, событий, процессов на естественных языках.

Информационные модели, построенные с использованием математических понятий и формул, называются математическими моделями.

Математические модели, реализованные с помощью систем программирования, электронных таблиц, специализированных математических пакетов и программных средств для моделирования, называются компьютерными математическими моделями.

Имитационные модели воспроизводят поведение сложных систем, элементы которых могут вести себя случайным образом.

Вопросы и задания

1. Приведите 2-3 собственных примера словесных моделей, рассматриваемых на уроках истории, географии, биологии.
2. Вспомните басни И. А. Крылова: «Волк и ягнёнок», «Ворона и лисица», «Демьянова уха», «Квартет», «Лебедь, Щука и Рак», «Лисица и виноград», «Слон и Моська», «Стрекоза и Муравей», «Тришкин кафтан» и др. Какие черты характера людей и отношения между людьми смоделировал в них автор?
3. На основании следующей геометрической модели докажите справедливость формулы

   S_Tp = 1/2 • а • h.

   

4. Решите, составив математическую модель, следующую задачу.

   Пароход прошёл 4 км против течения реки, а затем прошёл ещё 33 км по течению, затратив на весь путь один час. Найдите собственную скорость парохода, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.

5. Требуется спроектировать электрическую цепь, показывающую итог тайного голосования комиссии в составе трёх членов. При голосовании «за» член комиссии нажимает кнопку. Предложение считается принятым, если оно собирает большинство голосов. В этом случае загорается лампочка.
6. Решите, составив логическую модель, следующую задачу.

   На международных соревнованиях по прыжкам в воду первые пять мест заняли спортсмены из Германии, Италии, Китая, России и Украины. Ещё до начала соревнований эксперты высказали свои предположения об их итогах:

   1. Первое место займёт спортсмен из Китая, а спортсмен из Украины будет третьим.
   2. Украина будет на последнем месте, а Германия — на предпоследнем.
   3. Германия точно будет четвёртой, а первое место займёт Китай.
   4. Россия будет первой, а Италия — на втором месте.
   5. Нет, Италия будет пятой, а победит Германия.

   По окончании соревнований выяснилось, что каждый эксперт был прав только в одном утверждении. Какие места в соревновании заняли участники?

7. В середине прошлого века экономисты оценили ежегодный объём вычислений, необходимых для эффективного управления народным хозяйством страны. Он составил 10¹⁷ операций. Можно ли справиться с таким объёмом вычислений за год, если привлечь к работе миллион вычислителей, каждый из которых способен выполнять одну операцию в секунду?
8. Приведите примеры использования компьютерных моделей. Найдите соответствующую информацию в сети Интернет.
9. В Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов найдите лабораторную работу «Изучение закона сохранения импульса». В её основу положена математическая модель, описывающая движение тела, брошенного под углом к горизонту, с последующим делением тела на два осколка. Экспериментально проверьте закон сохранения импульса, выполнив работу согласно имеющемуся в ней описанию.
10. В Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов (http://school-collection.edu.ru/) найдите игру «Равноплечий рычаг». Изучите правила игры. Вспомните физическую закономерность, положенную в её основу. Попытайтесь «победить» компьютер и сформулировать выигрышную стратегию.