Учебник для 5 класса

МАТЕМАТИКА

11. Умножение натуральных чисел и его свойства

Если концертный зал освещается 3 люстрами по 25 лампочек в каждой, то всего лампочек в этих люстрах будет 25 + 25 + 25, то есть 75. Сумму, в которой все слагаемые равны друг другу, записывают короче: вместо 25 + 25 + 25 пишут 25 • 3. Значит, 25 • 3 = 75. Число 75 называют произведением чисел 25 и 3, а числа 25 и 3 называют множителями.

Умножить число m на натуральное число n — значит найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно m.

Выражение m • n и значение этого выражения называют произведением чисел m и n. Числа m и n называют множителями.

Произведения 7 • 4 и 4 • 7 равны одному и тому же числу 28 (рис. 46).

Рис. 46

Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей.
Это свойство умножения называют переместительным. С помощью букв его записывают так:
а • Ь = Ь • а.
Произведения (5 • 3) • 2 = 15 • 2 и 5 • (3 • 2) = 5 • 6 имеют одно и то же значение 30. Значит, 5 • (3 • 2) = (5 • 3) • 2 (рис. 47).
Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.
Это свойство умножения называют сочетательным. С помощью букв его записывают так:

a • (b • с) = (а • b) • с.

Сумма n слагаемых, каждое из которых равно 1, равна n. Поэтому верно равенство 1 • n = n.

Сумма n слагаемых, каждое из которых равно нулю, равна нулю. Поэтому верно равенство 0 • n = 0.

Чтобы переместительное свойство умножения было верно при n = 1 и n = 0, условились, что m - 1 = m и m • 0 = 0.

Перед буквенными множителями обычно не пишут знак умножения: вместо 8 • х пишут 8x, вместо a • b пишут ab.

Опускают знак умножения и перед скобками. Например, вместо 2 • (а + Ь) пишут 2(а + Ь), а вместо (х + 2) • (у + 3) пишут (х + 2)(у + 3). Вместо (ab)c пишут abc.

Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо.

Вопросы для самопроверки

Что значит умножить одно натуральное число на другое?
Как называют числа, которые перемножают?
Как называют результат умножения?
Чему равно 1 • п? Чему равно 0 • n?
Сформулируйте переместительное свойство умножения. Запишите его с помощью букв.
Сформулируйте сочетательное свойство умножения. Запишите его с помощью букв.
В каких случаях можно опустить знак умножения?
Чему равно произведение m • 1?
Чему равно произведение m • 0?

Выполните упражнения

404. Представьте в виде произведения сумму:

a) 707 + 707 + 707;
б) 50 + 50 + 50 + 50 + 50 + 50;
в) x + x + x + x + x + x.

405. Представьте в виде суммы произведение:

а) 712 • 3;
б) а • 6;
в) (х + у) • 4;
г) (k + m + 4) • 2.

Произведения можно прочитать, называя каждый множитель в родительном падеже. Например:

175 • 60 — произведение ста семидесяти пяти и шестидесяти;
80 • (х + 17) — произведение восьмидесяти и суммы икс и семнадцати.

406. Вместо слов «представьте в виде произведения» говорят «разложите на множители».

Разложите всеми способами на два множителя число 12.

407. Сколько времени Борис решал 6 уравнений, если на каждое уравнение ему требовалось 2 мин 30 с?

408. Точка С лежит на отрезке АВ. Найдите длину отрезка АВ, если АС = 8 см, а длина отрезка СВ в 3 раза больше длины отрезка АС.

409. Отрезок АВ разбит на 17 отрезков, по 7 см каждый. Найдите длину отрезка АВ.

410. В двух ящиках лежат помидоры. Во втором ящике в 3 раза больше помидоров, чем в первом. Сколько помидоров в обоих ящиках, если в первом ящике 12 кг?

411. Серёжа старше своей сестры на 5 лет, но моложе отца в 3 раза. Сколько лет Серёже и сколько лет его отцу, если Серёжиной сестре 8 лет?

412. Найдите значение произведения:

а) 154 • 8;
б) 39 • 57;
в) 64 • 23;
г) 76 • 81;
д) 744 • 12;
е) 605 • 37;
ж) 814 • 372;
з) 207 • 305;
и) 3754 • 247;
к) 4606 • 709;
л) 2128 • 3355;
м) 2005 • 6004;
н) 37 • 100;
о) 208 • 10 000;
п) 5400 • 38 000;
р) 4030 • 1 200 000.

413. Найдите значение выражения

а) 305 + 305 + 305 + 305 + 73
б) 615 + 615 + 125 + 125 + 125;
в) 2011 + 402 + 402 + 402 + 402 + 402;
г) 58 + 58 + 58 + 58 + 58 + 720 + 720.

414. Вместо звёздочек поставьте пропущенные цифры:

415. Выполните действия, применив сочетательное свойство умножения:

а) 50 • (2 • 764);
б) (111 • 2) • 35;
в) 125 • (4 • 80);
г) (402 • 125) • 8.

416. Вычислите, выбрав удобный порядок действий:

а) 483 • 2 • 5;
б) 4 • 5 • 333;
в) 25 • 86 • 4;
г) 250 • 3 • 40.

417. В магазин привезли 5 ящиков с красками. В каждом ящике 144 коробки, а в каждой коробке 12 тюбиков с красками. Сколько тюбиков привезли в магазин? Решите задачу двумя способами.

418. Столяр и его помощник должны сделать 217 рам. Столяр в день делает 18 рам, а его помощник — 13. Сколько рам им останется сделать после двух дней работы? четырёх дней работы? семи дней работы?

419. Для покраски двери требуется 800 г белил, а для покраски окна на 200 г меньше. Сколько белил потребуется, чтобы покрасить 3 окна и 4 двери?

420. Составьте выражение для решения задачи:

а) Построили 5 коттеджей по 80 м2 жилой площади и 2 коттеджа по 140 м2. Какова жилая площадь всех этих коттеджей?
б) Масса контейнера с четырьмя книжными шкафами 3 ц. Какова масса пустого контейнера, если масса одного шкафа 58 кг?

421. Привезли 12 ящиков яблок, по 30 кг в каждом, и 8 ящиков груш, по 40 кг в каждом. Какой смысл имеют следующие выражения:

а) 30 • 12;
б) 12 - 8;
в) 40 • 8;
г) 40 - 30;
д) 30 • 12 + 40 • 8;
е) 30 • 12 - 40 • 8?

422. Выполните действия:

а) (527 - 393) • 8;
б) 38 • 65 - 36 • 63;
в) 127 • 15 + 138 • 32;
г) 54 • 23 • 35;
д) (247 - 189) • (69 + 127);
е) (1203 + 2837 - 1981) • 21.

423. Запишите произведение:

а) 8 и х;
б) 12 + а и 16;
в) 25 - m и 28 + л;
г) а + b и m.

424. Укажите множители в произведении:

а) 3m;
б) 6(х + р);
в) 4аb;
г) (х - у) • 14;
д) (m + n)(k - 3);
е) 5k(m + а).

425. Запишите выражение:

а) произведение m и n;
б) утроенная сумма а и b;
в) сумма произведений чисел 6 и х и чисел 8 и у;
г) произведение разности чисел а и b и числа с.

426. Прочитайте выражение:

а) а • (с + d);
б) (4 - а) • 8;
в) 3(m + n);
г) 2(m - n);
д) ab + с;
е) m - cd.

427. Найдите значение выражения:

а) 8а + 250 при а = 12; 15;
б) 14(b + 12) при b = 13; 18.

428. Велосипедист ехал а ч со скоростью 12 км/ч и 2 ч со скоростью 8 км/ч. Сколько километров проехал велосипедист за это время? Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение при а = 1; 2; 4.

429. Составьте выражение по условию задачи:

а) Из 6 книжных полок составлен шкаф. Высота каждой полки х см. Найдите высоту шкафа. Найдите значение выражения при х = 28; 33.
б) За один рейс автомашина МАЗ-25 перевозит 25 т груза. Сколько груза она перевезёт за k рейсов? Найдите значение выражения при k = 10; 5; 0.

430. Цена одного волейбольного мяча х р., а баскетбольного мяча у р. Что означают выражения: Зх; 4у; 5х + 2у; 15х - 2у; 4(х + у)?

431. Составьте задачу по выражению:

а) (80 + 60) -7;
б) (65 - 40) • 4;
в) 28 • 4 + 35 • 5;
г) 96 • 5 - 82 • 3.

432. На вершину холма ведут пять тропинок. Сколько существует способов подняться на холм и спуститься с него, если подниматься и спускаться по разным тропинкам?

433. Какое из произведений больше: 67 • 2 или 67 • 3? Объясните, почему это так. Объясните, почему 190 • 8 < 195 • 12. Сделайте вывод.

434. Не выполняя умножения, расставьте в порядке возрастания произведения:

56 • 24; 56 • 49; 13 • 24; 13 • 11; 74 • 49; 7 • 11.

435. Докажите, что:

а) 20 • 30 < 23 • 35 < 30 • 40;
б) 600 • 800 < 645 • 871 < 700 • 900;
в) 1200 < 36 • 42 < 2000;
г) 45 000 < 94 • 563 < 60 000.

436. Вычислите устно:

437. Какое число пропущено?

438. Восстановите цепочку вычислений:

439. Угадайте корни уравнения:

а) х + х = 64;
б) 58 + у + у + у = 58;
в) а + 2 = а - 1.

440. Придумайте задачу, которая решалась бы с помощью уравнения:

а) х + 15 = 45;
б) у - 12 = 18.

441. Сколько четырёхзначных чисел можно составить из нечётных цифр, если цифры в записи числа не повторяются?

442. Среди чисел 1, 0, 5, 11, 9 найдите корни уравнения:

а) х + 19 = 30;
б) 27 - х = 27 + х;
в) 30 + х = 32 - х;
г) 10 + х + 2 = 15 + х - 3.

443. Назовите несколько свойств луча. Какие из этих свойств есть у прямой?

444. Придумайте способ, с помощью которого можно быстро и просто вычислить значение выражения:

39 - 37 + 35 - 33 + 31 - 29 + 27 - 25 + ... + 11 - 9 + 7- 5 + 3 - 1.

445. Решите уравнение:

а) 127 + у = 357 - 85;
б) 125 + у - 85 = 65;
в) 144 - у - 54 = 37;
г) 52 + у + 87 = 159.

446. При каком значении буквы верно равенство:

а) 34 + а = 34;
б) 6 +18=18;
в) 75 - с = 75;
г) 58 - d = 0;
д) m + 0 = 0;
ж) k - k = 0;
з) I + I = 0?
е) 0 - п = 0;

447. Решите задачу:

а) В корзине несколько грибов. После того как из неё вынули 10 грибов, а затем в неё положили 14 грибов, в ней стало 85 грибов. Сколько грибов было в корзине первоначально?
б) У мальчика было 16 почтовых марок. Он купил ещё несколько марок, после этого подарил младшему брату 23 марки, и у него осталось 19 марок. Сколько марок купил мальчик?

448. Упростите выражение:

(138 + m) - 95;
(198 + n) - 36;
(х - 39) + 65;
(у - 56) + 114.

449. Найдите значение выражения:

7480 - 6480 : 120 + 80;
1110 + 6890 : 130 - 130.

450. Найдите значение выражения:

а) 704 + 704 + 704 + 704;
б) 542 + 542 + 542 + 618 + 618.

451. Представьте в виде суммы произведение:

а) 24 • 4;
б) k • 8;
в) (х + у) • 4;
г) (2а - b) • 5.

452. В магазин привезли 250 коробок, в каждой коробке по 54 пачки печенья. Какова масса всего печенья, если масса одной пачки 150 г?

453. В треугольнике ABC сторона АВ равна 27 см, и она больше стороны ВС в 3 раза. Найдите длину стороны АС, если периметр треугольника ABC равен 61 см.

454. Один станок-автомат производит 12 деталей в минуту, а другой — 15 таких же деталей. Сколько всего деталей будет изготовлено за 20 мин работы первого станка и 15 мин работы второго станка?

455. Выполните умножение:

а) 56 • 24; в) 235 • 48;
б) 37 • 85; г) 37 • 129;
д) 203 • 504;
е) 210 • 3500;
ж) 2103 • 7214;
з) 5008 • 3020.

456. С одной и той же станции в одно и то же время вышли в противоположных направлениях два поезда. Скорость одного поезда 50 км/ч, а другого 85 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 ч?

457. От деревни до города велосипедист ехал 4 ч со скоростью 12 км/ч. Сколько времени он потратит на обратный путь по той же дороге, если увеличит скорость на 4 км/ч?

458. Придумайте задачу по выражению:

а) 120 + 65 • 2;
б) 168 - 43 • 2;
в) 15 • 4 + 12 • 4.

459. Сравните, не вычисляя, произведения (ответ запишите с помощью знака <):

а) 245 • 611 и 391 • 782;
б) 8976 • 1240 и 6394 • 906.

460. Запишите в порядке возрастания произведения:

172 • 191; 85 • 91; 85 • 104; 36 • 91; 36 • 75; 172 • 104.

461. Вычислите:

а) (18 384 + 19 847) • (384 - 201 - 183);
б) (2839 - 939) • (577 : 577).

462. Решите уравнение;

а) (х + 27) - 12 = 42;
б) 115 - (35 + у) = 39;
в) z - 35 - 64 = 16;
г) 28 - t + 35 = 53.

463. Сосчитайте, сколько четвёрок и сколько пятёрок на рисунке 48, но только по особому правилу — считать нужно подряд и четверки, и пятерки: «Первая четвёрка, первая пятёрка, вторая четвёрка, третья четвёрка, вторая пятёрка и т. д.». Если сразу не удастся сосчитать, возвращайтесь к этому заданию ещё и ещё раз.

Рис. 48