|
|
Учебник для 5 класса МАТЕМАТИКА21. Объёмы. Объём прямоугольного параллелепипедаЕсли наполнять формочку влажным песком, а потом переворачивать и снимать её, получатся фигуры, имеющие одинаковый объём (рис. 83). Если формочку наполнять водой, то объём воды будет равен объёму каждой фигуры из песка.
Рис. 83
Чтобы сравнить объёмы двух сосудов, можно наполнить один из них водой и перелить её во второй сосуд. Если второй сосуд окажется заполненным, а воды в первом сосуде не останется, то объёмы сосудов равны. Если в первом сосуде вода останется, то его объём больше объёма второго сосуда. А если заполнить водой второй сосуд не удастся, то объём первого сосуда меньше объёма второго. Для измерения объёмов применяют следующие единицы: кубический миллиметр (мм3), кубический сантиметр (см3), кубический дециметр (дм3), кубический метр (м3), кубический километр (км3). Например: кубический сантиметр — это объём куба с ребром 1 см (рис. 84).
Рис. 84 Кубический дециметр называют также литром. 1 л = 1 дм3 Фигура на рисунке 85 состоит из 4 кубиков с ребром 1 см. Значит, её объём равен 4 см3.
Рис. 85 Выведем правило для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда. Пусть прямоугольный параллелепипед имеет длину 4 см, ширину 3 см и высоту 2 см (рис. 86, а). Разобьём его на два слоя толщиной 1 см (рис. 86, б). Каждый из этих слоёв состоит из 3 столбиков длиной 4 см (рис. 86, в), а каждый столбик — из 4 кубиков с ребром 1 см. (рис. 86, г). Значит, объём каждого столбика равен 4 см3, каждого слоя — 4 • 3 ( см3), а всего прямоугольного параллелепипеда — (4 • 3) • 2, то есть 24 см3.
Рис. 86 Чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, надо его длину умножить на ширину и на высоту. Формула объёма прямоугольного параллелепипеда имеет вид V = abc. где V — объём; а, Ь, с — измерения. Если ребро куба равно 4 см, то объём куба равен 4 • 4 • 4 = 43 (см3), то есть 64 см3. Если ребро куба равно а, то объём V куба равен a • a • a = a3. Значит, формула объёма куба имеет вид V = а3. Именно поэтому запись а3 называют кубом числа а. Объём куба с ребром 1 м равен 1 м3. А так как 1 м = 10 дм, то 1 м3 = 103 дм3, то есть 1 м3 = 1000 дм3 = 1000 л. Таким же образом находим, что 1 л = 1 дм3 = 1000 см3; 1 см3 = 1000 мм3; 1 км3 = 1 000 000 000 м3 (см. рисунок).
Вопросы для самопроверки
Выполните упражнения819. Из кубиков с ребром 1 см составлены фигуры (рис. 87). Найдите объёмы и площади поверхностей этих фигур.
Рис. 87 820. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если:
821. Площадь нижней грани прямоугольного параллелепипеда равна 24 см2. Определите высоту этого параллелепипеда, если его объём равен 96 см3. 822. Объём комнаты равен 60 м3. Высота комнаты 3 м, ширина 4 м. Найдите длину комнаты и площади пола, потолка, стен. 823. Найдите объём куба, ребро которого 8 дм; 3 дм 6 см. 824. Найдите объём куба, если площадь его поверхности равна 96 см2. 825. Выразите:
826. Высота комнаты 3 м, ширина 5 м и длина 6 м. Сколько кубических метров воздуха находится в комнате? 827. Длина аквариума 80 см, ширина 45 см, а высота 55 см. Сколько литров воды надо влить в этот аквариум, чтобы уровень воды был ниже верхнего края аквариума на 10 см? 828. Прямоугольный параллелепипед (рис. 88) разделён на две части. Найдите объём и площадь поверхности всего параллелепипеда и обеих его частей. Равен ли объём параллелепипеда сумме объёмов его частей? Можно ли это сказать о площадях их поверхностей? Объясните почему.
Рис. 88 829. Вычислите устно:
830. Восстановите цепочку вычислений:
831. Найдите значение выражения:
832. Сколько десятков получится в частном:
833. Согласны ли вы с утверждением:
834. Четыре одинаковые бочки вмещают 26 вёдер воды. Сколько вёдер воды могут вместить 10 таких бочек? 835. Сколькими способами из 7 бусинок разных цветов можно составить ожерелье (с застёжкой)? 836. Назовите в прямоугольном параллелепипеде (рис. 89):
Рис. 89 837. Решите задачу:
838. Выполните действия:
839. На Руси в старину использовались в качестве единиц измерения объёма ведро (около 12 л), штоф (десятая часть ведра), в США, Англии и других странах используются баррель (около 159 л), гяллон (около 4 л), бушель (около 36 л), пинта (от 470 до 568 кубических сантиметров). Сравните эти единицы. Какие из них больше 1 м3? 840. Найдите объёмы фигур, изображённых на рисунке 90. Объём каждого кубика равен 1 см3.
Рис. 90 841. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда (рис. 91).
Рис. 91 842. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его измерения — 48 дм, 16 дм и 12 дм. 843. Сарай, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, заполнен сеном. Длина сарая 10 м, ширина 6 м, высота 4 м. Найдите массу сена в сарае, если масса 10 м3 сена равна 6 ц. 844. Выразите в кубических дециметрах:
845. Объём прямоугольного параллелепипеда 1248 см3. Его длина 13 см, а ширина 8 см. Найдите высоту этого параллелепипеда. 846. С помощью формулы V = abc вычислите:
Каков смысл произведения ab? 847. Отец старше сына на 21 год. Запишите формулу, выражающую — возраст отца — через b — возраст сына. Найдите по этой формуле:
848. Найдите значение выражения:
849. Подсчитайте по таблице (рис. 92):
Рис. 92
Рассказы об истории возникновения и развития математики200 лет назад в разных странах, в том числе и в России, применялись различные системы единиц для измерения длины, массы и других величин. Соотношения между мерами были сложны, существовали разные определения для единиц измерения. Например, и до сих пор в Великобритании существуют две различные «тонны» (в 2000 и в 2940 фунтов), более 50 различных «бушелей» и т. п. Это затрудняло развитие науки, торговли между странами, поэтому назрела необходимость введения единой системы мер, удобной для всех стран, с простыми соотношениями между единицами. Такая система — её назвали метрической системой мер — была разработана во Франции. Основную единицу длины, 1 метр (от греческого слова «метрон» — мера), определили как сорокамиллионную долю окружности Земли, основную единицу массы, 1 килограмм — как массу 1 дм3 чистой воды. Остальные единицы определялись через эти две, соотношения между единицами одной величины равнялись 10, 100, 1000 и т. д. Метрическая система мер принята большинством стран мира, в России её введение началось с 1899 года. Большие заслуги во введении и распространении метрической системы мер в нашей стране принадлежат Дмитрию Ивановичу Менделееву, великому русскому химику. Однако по традиции и в настоящее время иногда пользуются старыми единицами. моряки измеряют расстояния милями (1852 м) и кабельтовыми (десятая часть мили, то есть около 185 м), скорость — узлами (1 миля в час). Массу алмазов измеряют в каратах (200 мг, то есть пятая часть грамма — масса пшеничного зерна). Объём нефти измеряют в баррелях (159 л) и т. д.
|
|
|