Учебник для 5 класса

МАТЕМАТИКА

6. Сложение натуральных чисел и его свойства

Если прибавить к натуральному числу единицу, то получится следующее за ним число. Например, 6 + 1 = 7; 99 + 1 = 100.

Сложить числа 5 и 3 — значит прибавить к числу 5 три раза единицу. Получим: 5 + 3 = 5 + 1 + 1 + 1= 6 + 1 + 1= 7+1=8.

Пишут короче: 5 + 3 = 8.

Сложение чисел можно изобразить на координатном луче (рис. 31).

Рис. 31

Мы знаем следующие свойства сложения:

1. Сумма чисел не изменяется при перестановке слагаемых.

Например: 5 + 4 = 9 и 4 + 5 = 9.

Это свойство сложения называют переместительным (рис. 32).

Рис. 32

2. Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом к полученной сумме — второе слагаемое.

Например, 3 + (8 + 6) = 3 + 14 = 17 и (3 + 8) + 6 = 11 + 6 = 17.

Это свойство сложения называют сочетательным (рис. 33).

Рис. 33

3. От прибавления нуля число не изменяется.

Например, 9 + 0 = 9 (рис. 34). Так как 9 + 0 = 0 + 9, то и 0 + 9 = 9. Значит, если прибавить к нулю какое-нибудь число, то получится прибавленное число.

Вместо (5 + 9) + 7 пишут короче: 5 + 9 + 7. Когда в записи суммы нет скобок, то сложение выполняют по порядку слева направо.

Если точка С лежит на отрезке АВ, то длина всего отрезка АВ равна сумме длин его частей АС и СВ.

Пишут: АВ = АС + СВ.

Сумму длин сторон многоугольника называют периметром этого многоугольника.

Если в треугольнике ABC АВ = 3 см, ВС = 4 см и СА = 5 см, то периметр треугольника ABC равен 3 + 4 + 5, то есть 12 см.

Вопросы для самопроверки

• Какое число надо прибавить к натуральному числу, чтобы получилось следующее за ним число?
• Какие числа называют слагаемыми?
• Что называют суммой двух чисел?
• Сформулируйте переместительное свойство сложения.
• Сформулируйте сочетательное свойство сложения.
• Изменяется ли число, если к нему прибавить нуль?
• Чему равна сумма нуля и числа?
• Что такое периметр треугольника?

Выполните упражнения

182. Найдите суммы: 999 + 1; 78 099 + 1; 999 999 + 1.

183. Найдите сумму 76 + 24. Сколько единиц надо прибавить к числу 76, чтобы получить 100?

184. Купили 3 кг картофеля, 3 кг свёклы, 4 кг моркови, 5 кг яблок, 6 кг капусты, 2 кг груш и 4 кг слив. Сколько было куплено килограммов овощей и сколько килограммов фруктов?

185. Две девочки собирали в лесу малину. Первая девочка собрала 1 кг 250 г малины, а вторая — на 300 г больше. Сколько граммов малины собрали две девочки вместе?

186. В одной пачке 23 книги и в ней на 8 книг меньше, чем во второй, а в третьей пачке на 6 книг больше, чем во второй. Сколько всего книг в трёх пачках?

187. В первый день собрали 127 т картофеля, что на 32 т меньше, чем во второй день. В третий день собрано на 40 т больше, чем в первый день. Сколько всего тонн картофеля было собрано за эти три дня?

188. Начертите координатный луч и отметьте на нём точку С(6), отложите от этой точки вправо 5 единичных отрезков и отметьте точку D. Чему равна координата точки D?

189. Начертите координатный луч и отметьте на нём точки М(7) и Т(15). Сколько единичных отрезков надо отложить от точки М и в какую сторону, чтобы попасть в точку Т?

190. Изобразите на координатном луче сложение:

4 + 3; 4 + 6; 4 + 8; 8 + 4.

191. Выполните действия:

• а) (457 + 705) + 295;
• б) 554 + (46 + 1425).

192. Вычислите сумму, выбирая удобный порядок выполнения действий:

• а) 385 + 548 + 615;
• б) 221 + 427 + 373.

193. Вычислите:

• а) 458 + 333 + 42 + 67;
• б) 635 + 308 + 1365 + 392;
• в) 411 + 419 + 145 + 725 + 87;
• г) 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19.

194. Представление числа 8903 в виде суммы 8000 + 900 + 3 называют разложением этого числа по разрядам.

Разложите по разрядам числа:

48; 304; 57 608; 735 882; 4 308 001; 54 985 019 247.

195. Какое число разложили по разрядам:

• а) 7 000 000 + 600 000 + 40 000 + 5000 + 300 + 20 + 7;
• б) 4 000 000 000 + 5 000 000 + 4?

196. Выполните сложение:

• а) 3 419 845 099 + 11 087 609 311;
• б) 94 029 547 608 + 8 997 684 513;
• в) 63 000 768 676 + 51 673 008;
• г) 3 245 983 754 + 188 976 233 467.

197. Замените звёздочки цифрами так, чтобы получились правильно выполненные примеры на сложение:

198. В таблице указана стоимость (в млн рублей) продукции мебельной фабрики за январь, февраль и март. Заполните пустые клетки таблицы:

199. Заполните пустые клетки таблицы:

200. Какая из сумм — 18 + 24 или 18 + 35 — больше? Какая из сумм 18 + 24 или 21 + 35 — больше? Что происходит с суммой при увеличении слагаемых? А при их уменьшении?

201. Какая из сумм больше: 509 + 971 или 453 + 872? Ответьте, не выполняя вычислений.

202. Не вычисляя, расположите суммы в порядке возрастания:

• а) 78 + 65;
• б) 78 + 42;
• в) 144 + 65;
• г) 37 + 42;
• д) 144 + 83.

203. Докажите, что:

• а) 5000 + 7000 < 5374 + 7980 < 6000 + 8000;
• б) 17 000 < 6809 + 11 861 < 19 000.

204. Ученик, складывая числа 9875 и 6371, получил ответ 97 246. Каким путём он может сразу обнаружить свою ошибку?

205. Точка В делит отрезок АХ на две части. Отрезок АВ равен 27 мм, а отрезок ВК на 30 мм длиннее отрезка АВ. Найдите длину отрезка АХ.

206. Точки М и X делят отрезок АВ на три части: AM, MX и ХВ. Найдите длину отрезка АВ, если AM = 3 см 5 мм, отрезок МК на 13 мм длиннее отрезка AM, а отрезок АХ на 8 мм короче отрезка КВ.

207. Длина прямоугольного садового участка 86 м, а ширина 9 м. Найдите длину забора этого участка.

208. Одна из сторон прямоугольника 24 см, а другая в 3 раза больше. Найдите периметр прямоугольника.

209. В треугольнике DKC сторона DK меньше стороны КС на 6 см и больше стороны DC на 2 см. Найдите периметр треугольника DKC, если DC - 18 см.

210. Начертите квадрат со стороной 3 см. Вычислите его периметр.

211. В четырёхугольнике ABCD сторона AD на 4 см 6 мм больше стороны АВ, а АВ = ВС = CD = 13 см. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

212. Вычислите устно:

213. Выполните деление:

• а) 1 т : 200 кг;
• б) 1 км : 100 м;
• в) 8 ц : 16 кг;
• г) 36 км : 600 м.

214. Какое число стоит в конце цепочки?

215. Из чисел, оканчивающихся цифрой 5, выпишите такие, которые больше 160, но меньше 200.

216. Город был основан 8 веков назад. Строительство крепости в городе продолжалось пятую часть времени его существования. Сколько лет строилась крепость?

217. Существует ли натуральное число, которое равно сумме всех предшествующих ему натуральных чисел?

218. Как изменится двузначное число, если к нему приписать:

• а) два нуля;
• б) такое же число?

219. Составьте условие задачи, которая решается с помощью выражения:

• а) 120 + 35;
• 6) 80 + 25 + 60;
• в) 140 - 50;
• г) 90 - 20 - 45.

220. Сравните числа, поставив вместо звёздочки знак < или >:

375 * 383; 123 * 103; 3789 * 3798.

221. Выразите в килограммах: 3000 г; 15 ООО г; 4 т; 17 ц.

222. Выразите в граммах: 5 кг 421 г; 6 ц 14 кг; 2 т 765 кг 123 г.

223. Начертите отрезок АВ длиной 7 см и отрезок CD, равный отрезку АВ.

224. На шкале времени деления обозначают один век:

Покажите на шкале:

• а) начало и конец второго века;
• б) конец шестого века;
• в) седьмой век;
• г) середину двенадцатого века;
• д) первую половину семнадцатого века.

225. Сколько лет составляют два века? Полвека? Четверть века? Сколько веков составляют 300 лет? 500 лет? 1000 лет?

226. Сравните числа и запишите результат с помощью знака < или знака >:

• 800 106 и 98 004;
• 706 051 и 3 300 011;
• 4 603 172 и 4 603 181;
• 707 837 и 707 829.

227. Выполните действия:

• 256 + 44 • (135 - 86);
• 344 + 56 • (153 - 95);
• (1239 + 601) • (1521 - 1481);
• (1203 - 1143) • (1176 + 394).

228. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 6, 8, если цифры в записи числа не повторяются?

Решение. Первой цифрой числа может быть любая из четырёх данных цифр, второй — любая из трёх других, а третьей — любая из двух оставшихся. Получается:

Всего из данных цифр можно составить 4 • 3 • 2 = 24 трёхзначных числа.

229. Школьники трёх классов помогали в уборке картофеля. Один класс собрал 230 кг картофеля, другой — на 20 кг больше, чем первый, но оба класса собрали вместе на 40 кг меньше, чем третий класс. Сколько килограммов картофеля было собрано тремя классами?

230. Квартира состоит из трёх комнат. Первая комната на 5 м² меньше второй, а вторая на 8 м² меньше третьей. Найдите общую площадь трёх комнат, если площадь самой маленькой из них равна 10 м².

231. Выполните действия, применяя сочетательное свойство сложения:

• а) (7357 + 2848) + 5152;
• б) (54 271 + 39 999) + 10001;
• в) 19 999 + (4801 + 15 200);
• г) 18 356 + (1644 + 2135).

232. Разложите по разрядам число:

• а) 7 008 001;
• б) 33 333.

233. Выполните сложение:

• а) 5 387 284 367 + 21 542 357 285 + 3 070 358 347;
• б) 278 504 247 961 + 33 869 029 453 + 87 696 632 596.

234. Вычислите стоимость товаров (в тыс. рублей), поступивших в отделы магазина за неделю. Такой же расчёт сделайте по всему магазину.

235. Найдите число, оканчивающееся цифрой 7, если оно:

• а) больше 131 и меньше 141;
• б) меньше 457 и больше 437.

236. Найдите периметр треугольника КМР, если длина стороны КМ равна 5 см 8 мм, сторона МР на 1 см 5 мм длиннее стороны КМ, но короче на 2 см 3 мм стороны РК.

237. Длина прямоугольника 1 м 25 см, а ширина в 5 раз меньше. Найдите длину стороны квадрата, периметр которого равен периметру этого прямоугольника.

238. За неделю собрали 6500 кг винограда, из которых 650 кг передали в детский сад, а остальной виноград отправили в город в ящиках. Сколько ящиков с виноградом отправили в город, если в каждом ящике было 13 кг винограда?

239. Отметьте на координатном луче все точки, координаты которых — натуральные числа:

• а) меньшие, чем 8;
• б) меньшие, чем 15, но большие, чем 10.

240. Выполните действия:

• а) (2928 - 88) : 142;
• б) (64 + 37) • 91;
• в) 1032 : (5472 : 19 : 12);
• г) 15 732 : 57 : (156 : 13);
• д) (880 + 230) • 54 : 37;
• е) (3211 + 103 • 23) : 124.

Рассказы об истории возникновения и развития математики

В старину в России применялись меры массы не такие, как в настоящее время. ( нстример, для взвешивания мелких, но дорогих товаров применялся золотник (около 4 г), в торговле использовались фунт (1 фунт = 96 золотникйм), пуд (1 пуд = 40 фонтам), берковец (1 берковец = 10 пудйм).

241. Составьте задачу с использованием старых русских мер массы.