Учебник для 6 класса

МАТЕМАТИКА

12. Сложение и вычитание смешанных чисел

Переместительное и сочетательное свойства сложения позволяют привести сложение смешанных чисел к сложению их целых частей и к сложению их дробных частей.

Пример 1. Найдём значение суммы

Решение. Приведём дробные части чисел к наименьшему общему знаменателю 8, затем представим смешанные числа в виде суммы их целой и дробной частей:

Значит,

Пишут короче:

Пример 2. Найдём значение суммы

Решение. Сначала приводим дробные части данных чисел к наименьшему общему знаменателю 12, затем отдельно складываем целые и дробные части:

При вычитании смешанных чисел пользуются свойствами вычитания суммы из числа и вычитания числа из суммы.

Пример 3. Найдём значение разности

Решение. Приведём дробные части к наименьшему общему знаменателю 18 и представим данные числа в виде суммы целой и дробной частей:

По свойству вычитания суммы из числа имеем:

Пишут короче:

Если дробная часть уменьшаемого окажется меньше дробной части вычитаемого, то надо превратить в дробь с тем же знаменателем одну единицу целой части уменьшаемого.

Пример 4. Найдём значение разности

Решение. Приведём дробные части данных чисел к наименьшему общему знаменателю 18:

Так как дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то уменьшаемое записываем так:

Значит,

Обычно пишут короче:

Вопросы для самопроверки

• Расскажите, как сложить смешанные числа и на каких свойствах сложения основано сложение смешанных чисел.
• Расскажите, как выполнить вычитание смешанных чисел и на каких свойствах основано правило вычитания смешанных чисел.

Выполните упражнения

376. Выполните сложение:

377. Выполните вычитание:

378. Найдите значение выражения:

379. Выполните действие:

380. Решите уравнение:

381. Найдите по формуле А = m -

• а) значение А, если m =
• б) значение m, если А =

382. Школьный бассейн наполняется через первую трубу за 4 ч, а через вторую — за 6 ч. Какую часть бассейна останется наполнить после совместной работы обеих труб в течение часа?

383. Новая машина может выкопать канаву за 8 ч, а старая — за 12 ч. Новая машина работала 3 ч, а старая 5 ч. Какую часть канавы осталось выкопать?

384. От ленты длиной 8 м отрезали кусок длиной м. Найдите длину оставшейся части.

385. Одна шахматная партия длилась ч, а другая — ч. Сколько времени длилась третья партия, если на все три партии было затрачено 3 ч?

386. Когда от верёвки отрезали кусок, то оставшаяся часть имела длину 2 м. Какой длины была бы оставшаяся часть, если бы от верёвки отрезали на м меньше? на м больше?

387. Запишите все числа, знаменатель дробной части которых равен 12, большие и меньшие .

388. На координатном луче отмечена точка (рис. 17). Отметьте на луче точки, координаты которых равны:

Рис. 17

389. Найдите периметр треугольника АБС, если

390. На одной машине т груза, а на другой — на т меньше. Сколько тонн груза на двух машинах?

391. В одном ящике кг винограда, что на кг меньше, чем в другом ящике. Сколько килограммов винограда в двух ящиках?

392. На окраску оконных рам израсходовали кг краски, на окраску пола пошло кг, а на окраску дверей потребовалось на кг меньше, чем на окраску пола. Сколько всего израсходовали краски?

393. Три бригады вырастили горох на площади га. Первая и вторая бригады вырастили горох на площади га, а вторая и третья — на площади га. Найдите площадь каждого участка.

394. На сахарный завод в понедельник привезли т свёклы, во вторник — на т больше, чем в понедельник, а в среду — на т меньше, чем во вторник и понедельник вместе. Из 7 т свёклы получается 1 т сахара. Сколько сахара получится из привезённой свёклы?

395. В трёх бидонах 10 л молока. В первом и втором бидонах было л, а во втором и третьем л молока. Сколько литров молока было в каждом бидоне?

396. Теплоход по течению реки проходит км за 1 ч. Скорость течения км/ч. Найдите скорость теплохода против течения.

397. Скорость катера по течению реки км/ч, а против течения км/ч. Какова скорость течения?

398. Федя и Вася шли навстречу друг другу. Каждый час расстояние между ними уменьшалось на км. Найдите скорость Феди, если скорость Васи км/ч.

399. Первый велосипедист догонял второго, причём расстояние между ними уменьшалось каждый час на км. С какой скоростью ехал первый велосипедист, если второй ехал со скоростью км/ч?

400. Найдите значение выражения:

401. Вычислите устно:

402. Найдите пропущенные числа на рисунке:

403. Найдите натуральные значения m, при которых верно неравенство:

404. На сколько процентов увеличится объём куба, если длину каждого его ребра увеличить на 20%?

405. Почтовый самолёт поднялся с аэродрома в 10 ч 40 мин утра, пробыл в полёте 5 ч 15 мин, а на земле во время стоянки 1 ч 37 мин. Когда самолёт вернулся на аэродром?

406. Четырёхугольник с равными сторонами называют ромбом (рис. 18). Подумайте, является ли ромб правильным многоугольником.

Рис. 18

В чём сходство решения этой задачи с нахождением решений двойного неравенства 0 < у < 10 среди чисел 0,12; 15; 2,7; 10,5?

407. Докажите переместительное и сочетательное свойства сложения для дробей с одинаковыми знаменателями на основе таких же свойств для натуральных чисел.

408. Выполните действие:

409. Три сына хана получили в наследство большую отару овец. Старшему сыну достались 25 частей стада, среднему — 10 частей, а младшему — 1 часть. Сколько овец было в отаре, если средний брат получил на 765 овец больше, чем младший?

410. В городе семизначные телефонные номера. Сколько в нём может быть номеров, начинающихся цифрами 235?

411. Выполните вычисления с помощью микрокалькулятора и результат округлите до тысячных:

3,281 • 0,57 + 4,356 • 0,278 - 13,758 : 6,83.

412. Решите задачу:

1. Для борьбы с вредителями садов готовится известково-серный отвар, состоящий из 6 частей серы, 3 частей негашёной извести и 50 частей воды (по массе). Сколько получится килограммов отвара, если воды взять на 8,8 кг больше, чем серы?
2. Для приготовления фарфора на 1 часть гипса берут 2 части песка и 25 частей глины (по массе). Сколько получится килограммов фарфора, если взять глины на 6,9 кг больше, чем песка?

413. Выполните действия:

1. 7225 : 85 + 64 • 2345 - 248 838 : 619;
2. 54 • 3465 - 9025 : 95 + 360 272 : 712.

414. Выполните действие:

415. Найдите значение разности:

416. Решите уравнение:

417. Найдите значение выражения:

418. Один тракторист вспахал поля, а другой того же поля. Какую часть поля осталось вспахать?

419. Бочки горючего хватает для работы одного двигателя на 7 ч, а другого — на 5 ч. Какая часть горючего останется от полной бочки после 2 ч работы первого двигателя и 3 ч работы второго двигателя?

420. Для экспедиции, работающей в тайге, сбросили с вертолёта упаковку с продуктами, которая упала на землю через 3 с. С какой высоты была сброшена эта упаковка, если в первую секунду она пролетела м, а в каждую следующую секунду она пролетала на м больше, чем в предыдущую?

421. Сколько времени пошло на изготовление детали, если её обрабатывали на токарном станке ч, на фрезерном станке ч и на сверлильном станке ч?

422. Найдите значение выражения:

423. Из двух сёл одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода и встретились через 1,5 ч. Расстояние между сёлами 12,3 км. Скорость одного пешехода 4,4 км/ч. Найдите скорость другого пешехода.

424. Для приготовления варенья из вишни на 3 части сахара берут 2 части ягод (по массе). Сколько килограммов сахара и сколько килограммов ягод надо взять, чтобы получить 10 кг варенья, если при варке его масса уменьшается в 1,5 раза?

425. Найдите значение выражения:

426. Решите уравнение:

Рассказы об истории возникновения и развития математики

Раздел математики, в котором изучаются свойства чисел и действий над ними, называют теорией чисел.

Начало созданию теории чисел положили древнегреческие учёные Пифагор, Евклид, Эратосфен и другие.

Некоторые проблемы теории чисел формулируются очень просто — их может понять любой шестиклассник. Но решение этих проблем иногда настолько сложно, что на него уходят столетия, а на некоторые вопросы ответов нет до сих пор. например, древнегреческим математикам была известна всего одна пара дружественных чисел — 220 и 284. и лишь в XVIII в. знаменитый математик, член Петербургской академии наук леона рд Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел (одна из них — 17 296 и 18 416). Однако до сих пор не известен общий способ нахождения пар дружественных чисел.

Было высказано предположение, что любое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел. Например:

21 = 3 + 7 + 11, 23 = 5 + 7 + 11

и т. п. Подойти к доказательству этого предположения сумел лишь 200 лет спустя замечательный русский математик, академик Иван Матвеевич виноградов (1891—1983). Но утверждение «любое чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел» (например: 28 = 11 + 17, 56 = 19 + 37, 924 = 311 + 613 и т. д.) до сих пор не доказано.