>>> Перейти на мобильный размер сайта >>>

Учебник для 6 класса

МАТЕМАТИКА

20. Отношения

Задача 1. От куска материи длиной 5 м отрезали 2 м. Какую часть куска материи отрезали?

Решение. Сначала узнаем, какую часть всего куска материи составляет1 м. Так как в куске 5 м, то 1 м составляет куска. Значит, 2 м составляют всего куска материи. Тот же ответ можно получить, разделив 2 на 5. Действительно, 2 : 5 = . Ответ можно также записать в виде десятичной дроби или в процентах: = 0,4 = 40%.

Если значения двух величин выражены одной и той же единицей измерения, то их отношение называют также отношением этих величин (отношением длин, отношением масс, отношением площадей и т. д.).

Задача 2. Длина железной дороги 360 км. Электрифицировано 240 км этой дороги. Какая часть дороги электрифицирована? Во сколько раз вся дорога длиннее её электрифицированной части?

Решение. Чтобы найти, какая часть дороги электрифицирована, берём отношение 240 : 360. Записываем это отношение в виде дроби и сокращаем её на 120. Получим 240 : 360 = . Значит, электрифицировано всей дороги.

Чтобы узнать, во сколько раз вся дорога длиннее своей электрифицированной части, берём отношение 360 : 240. Записываем его в виде дроби и сокращаем эту дробь на 120. Получим 360 : 240 = . Значит, вся дорога в 1,5 раза длиннее её электрифицированной части.

Числа взаимно обратны, поэтому и отношения 2 к 3 и 3 к 2 также называют взаимно обратными.

Если значения двух величин выражены разными единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо предварительно перейти к одной единице измерения.

Задача 3. Масса станка 9,6 ц, а масса электромотора 36 кг. Найдите отношение массы электромотора к массе станка.

Решение. Выразим массу станка в килограммах. Получим 9,6 ц = 960 кг.

Значит, отношение массы электромотора к массе станка равно = 0,0375.

Итак, масса электромотора составляет 0,0375 массы станка.

Этот ответ можно выразить в процентах: 0,0375 = 3,75 %.

Значит, масса электромотора составляет 3,75% массы станка.

Вопросы для самопроверки

• Что называют отношением двух чисел?
• Что показывает отношение двух чисел?
• Как узнать, какую часть число а составляет от числа b?
• Как узнать, сколько процентов одно число составляет от другого?

Выполните упражнения

722. Найдите отношение:

723. Проволока разрезана на два куска. Первый кусок имеет длину 9 м, а второй — 14,4 м. Найдите, какую часть всей проволоки составляет первый кусок; второй кусок. Какую часть длина первого куска составляет от длины второго куска?

724. Внутри угла АОС проведён луч ОВ так, что ∠AOB = 56° и ∠BOC = = 40°. Какую часть угла АОС составляет угол АОВ; угол ВОС? Выполните построение этих углов с помощью транспортира.

725. Площадь прямоугольника 22,05 дм². Длина этого прямоугольника 10,5 дм. Найдите отношение длины прямоугольника к его ширине. Что показывает это отношение? Запишите отношение, обратное полученному отношению. Что будет показывать это отношение?

726. Отношение а к b равно . Найдите обратное отношение. Чему будет равно отношение m к n, если отношение n к m равно 1,25?

727. Сплав из свинца и олова содержит 1,52 кг свинца и 0,76 кг олова. В каком отношении взяты свинец и олово? Какую часть сплава (по массе) составляет олово и какую часть — свинец?

728. Какую часть урока заняла самостоятельная работа, которая длилась 20 мин, если продолжительность урока 45 мин?

729. В классе 36 учащихся. Из них 15 мальчиков, а остальные — девочки. Какую часть учащихся составляют мальчики, а какую — девочки? Чему равно отношение числа девочек к числу мальчиков и что оно показывает?

730. Между двумя городами построили дорогу. Первый город построил дороги, второй — остальную часть. Во сколько раз часть дороги, построенная первым городом, больше, чем часть дороги, построенная вторым?

731. Расстояние от села до города автомашина прошла за 3 ч. В первый час она прошла четверть всего расстояния, во второй час — треть всего расстояния. Во сколько раз расстояние, пройденное в третий час, больше расстояния, пройденного во второй час? Какую часть расстояние, пройденное в первый час, составляет от расстояния, пройденного в третий час?

732. Молоко разлили в три бидона. В первый налили 0,1 всего молока, во второй — 0,3 всего молока, а в третий — 0,6 всего молока. Что показывает отношение:

• а) 0,1 к 0,3;
• б) 0,1 к 0,6;
• в) 0,3 к 0,6;
• г) (0,3 + 0,1) к 0,6?

733. В классе 40 учащихся, из них 8 учащихся учатся на «5». Сколько процентов учащихся класса составляют отличники?

734. Из 250 семян погибли 10. Найдите, сколько процентов семян взошло (процент всхожести).

735. После установки нового оборудования завод за смену вместо 240 холодильников стал выпускать 300 холодильников. На сколько процентов увеличилось производство холодильников за смену?

736. По коэффициенту трудового участия (КТУ) заработок между тремя рабочими распределили следующим образом: первому — 40% всех денег, второму — 35 % всех денег, а третьему — остальные 25 %. Определите, округлив результаты до десятых, сколько процентов составляли деньги, полученные:

• а) первым рабочим, от денег, полученных двумя другими;
• б) вторым рабочим, от денег, полученных двумя другими;
• в) первым рабочим, от денег, полученных вторым;
• г) вторым рабочим, от денег, полученных первым;
• д) третьим рабочим, от денег, полученных первым.

737. Имеющиеся деньги брат и сестра распределили так, что сестра получила в 3 раза больше, чем брат. Определите:

• а) какую часть денег получила сестра и какую — брат;
• б) сколько процентов всех денег получила сестра и сколько — брат;
• в) какую часть деньги брата составляют от денег сестры.

738. Известно, что сумма углов любого треугольника равна 180°. В треугольнике ABC найдите ∠A, если:

• а) ∠B = 75°, ∠С = 80°;
• б) ∠A больше ∠B на 20° и меньше ∠C на 40°;
• в) ∠B составляет ∠C составляет суммы всех углов треугольника;
• г) ∠A составляет ∠B и ∠C = 70°.

739. Что показывает отношение:

• а) пути, пройденного автомашиной, ко времени её движения;
• б) числа деталей, изготовленных станком-автоматом, ко времени его работы;
• в) стоимости купленных яблок к их массе;
• г) объёма прямоугольного параллелепипеда к площади его основания?

740. Найдите, сколько процентов число 9,729 составляет от числа 84,6. С помощью микрокалькулятора для этого можно выполнить вычисление по программе .

С помощью микрокалькулятора:

• а) найдите, сколько процентов составляет 0,0912 от 36,48 и 13,524 от 16,8;
• б) решите задачу: «Из 327 га вспахано 225 га. Сколько процентов земли вспахано? Сколько процентов земли осталось вспахать?»

Ответ округлите до десятых долей процента.

741. Вычислите устно:

742. Найдите пропущенные числа:

743. На сколько надо увеличить знаменатель дроби чтобы получить дробь ?

744. Выразите в процентах числа:

745. Половина от половины числа равна половине. Найдите это число.

746. Кто быстрее? Найдите в таблице последовательно все числа от 26 до 50:

747. Найдите значение выражения:

748. На подкормку овощей и фруктовых деревьев израсходовано из имевшихся 18 ц удобрений. На подкормку овощей пошло израсходованных удобрений. Сколько центнеров удобрений израсходовано на подкормку овощей?

749. На окраску окон и дверей было истрачено 3,2 кг белил, что составляет всех белил, истраченных на ремонт. А на ремонт было истрачено всех купленных белил. Сколько килограммов белил было куплено?

750. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если:

1. его ширина 2,5 см и составляет высоты, а длина в 3,4 раза больше высоты;
2. его высота 3,5 см и составляет 0,7 ширины, а длина в 2,4 раза больше ширины.

751. Двое мальчиков бросали баскетбольный мяч в корзину. Один мальчик сделал 20 бросков и попал в корзину 13 раз, а другой сделал 26 бросков и попал в корзину 15 раз. Найдите для каждого мальчика, какую часть составляли попадания от числа бросков. Чей результат лучше?

752. Крутизной лестницы называют отношение высоты ступеньки к её глубине. Чему равна крутизна лестницы, если высота ступеньки 18 см, а глубина 30 см?

753. Автобус в первый час прошёл 30 км, во второй — 24 км, а в третий — 42 км. Какую часть всего пути прошёл автобус в каждый час? Какую часть пути, оставшуюся после первого часа движения, прошёл автобус во второй час и какую — в третий час?

754. Для варенья на 3,5 кг ягод было взято 4,2 кг сахарного песка. В каком отношении по массе были взяты ягоды и сахарный песок?

755. В сосуд налили 240 г воды и положили 10 г соли. Найдите процентное содержание соли в растворе. Через некоторое время 50 г воды испарилось. Каким стало процентное содержание соли в растворе?

756. Комбайнер намолотил 76 т зерна, превысив задание на 12 т. На сколько процентов комбайнер перевыполнил задание?

757. На складе были пшеница, овёс и кукуруза, причём пшеница составляла 64%, овёс — 16% всего количества зерна. В товарный состав загрузили всю пшеницу и всю кукурузу. Какой процент погруженного зерна составляла пшеница? Какой процент погруженного зерна составляла бы пшеница, если бы вместо кукурузы погрузили овёс?

758. Длина прямоугольника а см, а ширина b см. Длина другого прямоугольника т см, а ширина п см. Найдите отношение площади первого прямоугольника к площади второго. Найдите значение получившегося выражения, если:

• а) а = 9, b = 2, m = 8, n = 3;
• б) а = 6,4, b = 0,2, m = 3,2, n = 0,5.

759. Найдите значение выражения: