Учебник для 6 класса

МАТЕМАТИКА

21. Пропорции

Отношения 3,6 : 1,2 и 6,3 : 2,1 равны, так как значения частных равны 3. Поэтому можно записать равенство 3,6 : 1,2 = 6,3 : 2,1, или = .

С помощью букв пропорцию записывают так: a : b — с : d или .

Эти записи читают так: «Отношение а к b равно отношению с к d» или «а так относится к Ь, как с относится к d».

В пропорции = 21 или a : b = с : d, числа a и d называют крайними членами, а числа b и с — средними членами пропорции. В дальнейшем будем считать, что все члены пропорции отличны от нуля: а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0, d ≠ 0.

В пропорции найдем произведение её крайних и произведение её средних членов. Получим 3,6 • 2,1 = 7,56; 1,2 • 6,3 = 7,56. Значит, 3,6 • 2,1 = 1,2 • 6,3.

Верно и обратное утверждение:

Это свойство называют основным свойством пропорции.

Пропорция 20 : 16 = 5 : 4 верна, так как 20 • 4 = 16 • 5 = 80.

Поменяем местами в этой пропорции средние члены. Получим новую пропорцию: 20 : 5 = 16 : 4. Она тоже верна, так как при такой перестановке произведение крайних и произведение средних членов не изменилось. Эти произведения не изменятся, если в пропорции 20 : 5 = 16 : 4 поменять местами крайние члены.

Если в верной пропорции поменять местами средние члены или крайние члены, то получившиеся новые пропорции тоже верны.

Используя основное свойство пропорции, можно найти её неизвестный член, если все остальные члены известны.

Пример 1. Найдём в пропорции 0,5 : a = 2 : 13 неизвестный средний член а.

Решение. Используя основное свойство пропорции, получим а • 2 = = 0,5 • 13. Отсюда .

Пример 2. Решим уравнение .

Решение. Используя основное свойство пропорции, получим 8,75 • 0,75 = . Отсюда x = . Представим в виде десятичной дроби 3,75 и сократим выражение на 0,75, имеем х = ; х = 1,75.

Вопросы для самопроверки

• Что такое пропорция?
• Как называются числа х и у в пропорции х : а = b : у?
• Как называются числа m и n в пропорции а : m = п : b?
• Сформулируйте основное свойство пропорции.
• Какие перестановки членов пропорции снова приводят к верным пропорциям?
• Останется ли пропорция верной, если поменять местами какой-нибудь средний её член с одним из крайних? Приведите пример.
• Останется ли пропорция верной, если оба средних члена поменять местами с крайними членами? Проверьте ваш ответ на пропорции 3 : 4 = 9 : 12.

Выполните упражнения

760. Запишите пропорцию:

• а) 5 так относится к 3, как 2 относится к 1,2;
• б) 0,9 так относится к , как 45 относится к 16;
• в) отношение к 0,1 равно отношению 14 к 4,9.

Проверьте полученные пропорции, определяя отношения чисел.

761. Из каких отношений 0,6 : 5; 4,2 : 7; : 6,25 можно составить верную пропорцию?

762. Прочитайте пропорции и проверьте, верные ли они, используя основное свойство пропорции:

763. Решите уравнение:

764. Переставив средние или крайние члены пропорции, составьте три новые верные пропорции из пропорции:

765. Используя верное равенство 4 • 9 = 0,2 • 180, составьте четыре верные пропорции.

766. Вычислите устно:

767. Какой знак действия надо подставить вместо *, чтобы получилось верное равенство:

768. Найдите отношение величин:

• а) 1,5 м и 30 см;
• б) 1 кг и 250 г;
• в) 1 ч и 15 мин;
• г) 50 см² и 1 дм².

769. числа равны этого числа. Какое это число?

770. Какое число надо прибавить к числителю и знаменателю дроби , чтобы получить дробь ?

771. Какие из фигур (рис. 33) являются развёртками:

• а) четырёхугольной призмы;
• б) треугольной призмы;
• в) треугольной пирамиды?

Рис. 33

772. Из ружья сделано 50 выстрелов, при этом 5 пуль пролетели мимо цели. Определите процент попаданий.

773. Угол А равен 30°, а угол В равен 50°. Какую часть от угла В составляет угол А? Во сколько раз угол В больше угла А?

774. Бригаде было дано задание собрать 280 ц винограда. Она собрала 350 ц. На сколько процентов бригада перевыполнила задание? На сколько процентов бригада выполнила задание?

775. В парке посадили клёны и дубы, причём на каждые 4 клёна приходится один дуб. Сколько процентов от всех посаженных деревьев составляют клёны? Сколько всего посадили деревьев в парке, если клёнов посадили 480?

776. Верна ли пропорция:

• а) 2,04 : 0,6 = 2,72 : 0,8;
• б) 0,0112 : 0,28 = 0,204 : 0,51?

777. Решите уравнение:

778. Из 225 кг руды получили 34,2 кг меди. Каково процентное содержание меди в руде?

779. Через 2 ч после выхода со станции А тепловоз увеличил скорость на 12 км/ч и через 5 ч после начала движения прибыл в пункт назначения В. Какова была скорость тепловоза в начале пути, если расстояние от А до В равно 261 км?

780. Если к неизвестного числа прибавить 0,8, то получится 1,2. Найдите неизвестное число.

781. Выполните действия:

• а) (3,2 : 4 + 4 : 3,2) • 4,8;
• б) (385,7 : 0,19 - 30) • 0,2 - (35,7 • 3,29 + 2,547).