Учебник для 6 класса

МАТЕМАТИКА

38. Свойства действий с рациональными числами

Сложение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами. Иными словами, если а, b и с — любые рациональные числа, то

а + b = b + а, а + (b + с) = (а + b) + с.

Прибавление нуля не изменяет числа, а сумма противоположных чисел равна нулю. Значит, для любого рационального числа имеем:

a + 0 = а, а + (-а) = 0.

Умножение рациональных чисел тоже обладает переместительным и сочетательным свойствами. Другими словами, если a, b и с — любые рациональные числа, то

аb = bа, а(bс) = (аb)с.

Умножение на 1 не изменяет рационального числа, а произведение числа на обратное ему число равно 1. Значит, для любого рационального числа a имеем:

a • 1 = a, a - = 1, если а ≠ 0.

Умножение числа на нуль даёт в произведении нуль, т. е. для любого рационального числа а имеем:

a • 0 = 0.

Произведение может быть равно нулю лишь в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю: если a • b = 0, то либо a = 0, либо b = 0 (может случиться, что и a = 0, и b = 0).

Умножение рациональных чисел обладает и распределительным свойством относительно сложения. Другими словами, для любых рациональных чисел а, b и с имеем:

(а + b) • с = ас + bс.

Вопросы для самопроверки

• Перечислите свойства сложения рациональных чисел.
• Перечислите свойства умножения рациональных чисел.
• В каком случае произведение двух чисел равно нулю?

Выполните упражнения

1201. Сформулируйте словами переместительное свойство сложения а + b = b + а и проверьте его:

1202. Сформулируйте словами сочетательное свойство сложения а + (b + с) = (а + b) + с и проверьте его:

1203. Сложив отдельно положительные и отдельно отрицательные числа, найдите значение выражения:

1204. Сложив сначала противоположные числа, найдите значение выражения:

1205. Упростите выражение:

• а) х + 8 - х - 22;
• б) -х - а + 12 + а - 12;
• в) а - m + 7 - 8 + m;
• г) 6,1 - k + 2,8 + р - 8,8 + k - р.

1206. Выбрав удобный порядок вычислений, найдите значение выражения:

1207. Сформулируйте словами переместительное свойство умножения ab = bа и проверьте его:

1208. Сформулируйте словами сочетательное свойство умножения а(Ъс) = (ab)c и проверьте его:

1209. Выбирая удобный порядок вычислений, найдите значение выражения:

1210. Какое получится число (положительное или отрицательное), если перемножить:

• а) одно отрицательное и два положительных числа;
• б) два отрицательных и одно положительное число;
• в) 7 отрицательных и несколько положительных чисел;
• г) 20 отрицательных и несколько положительных?

Сделайте вывод.

1211. Определите знак произведения:

• а) -2 • (-3) • (-9) • (-1,3) • 14 • (-2,7) • (-2,9);
• б) 4 • (-11) • (-12) • (-13) • (-15) • (-17) • 80 • 90.

1212. Решите уравнение, использовав свойство произведения, равного нулю:

1213. Сформулируйте словами распределительное свойство умножения (а + b) • с — ас + Ьс и проверьте его:

1214. Выбирая удобный порядок вычислений, найдите значение выражения:

1215. Вычислите устно:

1216. Найдите сумму всех целых чисел:

• а) от -6 до 7;
• б) от -18 до 17;
• в) от -22 до 20.

1217. Решите уравнение:

• а) |x|-5,2;
• б) |а| = ;
• в) |у| = 0.

1218. Придумайте такие значения х и у, при которых верно соотношение:

1219. Найдите наибольшее значение выражения:

• а) -|х|;
• б) 2 - |х|;
• в) -|х - 1|;
• г) - (х - 1)².

1220. Решать некоторые математические задачи помогают специальные схемы, состоящие из точек и соединяющих их дуг или стрелок (рис. 91). Такие схемы называют графами, точки называют вершйнами графа, а дуги — рёбрами графа. Ответьте на вопросы, используя графы.

Рис. 91

• а) В спортивном зале собрались Витя, Коля, Петя, Серёжа и Максим (рис. 91, а). Оказалось, что каждый из мальчиков знаком только с двумя другими. Кто с кем знаком? (Ребро графа означает «мы знакомы».)
• б) Во дворе гуляют братья и сёстры одной семьи. Кто из этих детей мальчики, а кто девочки (рис. 91,б)? (Пунктирные рёбра графа исходят от сестёр, а сплошные — от братьев.)

1221. Вычислите:

1222. Сравните:

• а) 2³ и З²;
• б) (-2)³ и (-3)²;
• в) 1³ и 1²;
• г) (-1)³ и (-1)².

1223. Округлите 5,2853 до тысячных; до сотых; до десятых; до единиц.

1224. Решите задачу:

1. Мотоциклист догоняет велосипедиста. Сейчас между ними 23,4 км. Скорость мотоциклиста в 3,6 раза больше скорости велосипедиста. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста, если известно, что мотоциклист догонит велосипедиста через ч.
2. Легковая автомашина догоняет автобус. Сейчас между ними 18 км. Скорость автобуса составляет скорости легковой автомашины. Найдите скорости автобуса и легковой автомашины, если известно, что легковая автомашина догонит автобус через ч.

1225. Найдите значение выражения:

1. (0,7245 : 0,23 - 2,45) • 0,18 + 0,074;
2. (0,8925 : 0,17 - 4,65) • 0,17 + 0,098;
3. (-2,8 + 3,7 - 4,8) • 1,5 : 0,9;
4. (5,7 - 6,6 - 1,9) • 2,1 : (-0,49).

Проверьте ваши вычисления с помощью микрокалькулятора.

1226. Выбрав удобный порядок вычислений, найдите значение выражения:

1227. Упростите выражение:

1228. Найдите значение выражения:

1229. Выполните действия:

1230. По плану метростроевцы должны были проложить 2,5 км тоннелей. Они проложили 3,2 км тоннелей. На сколько процентов метростроевцы выполнили план и на сколько процентов они перевыполнили план?

1231. Автомашина прошла 240 км. Из них 180 км она шла по просёлочной дороге, а остальной путь — по шоссе. Расход бензина на каждые 10 км просёлочной дороги составил 1,6 л, а по шоссе — на 25% меньше. Сколько литров бензина в среднем расходовалось на каждые 10 км пути?

1232. Выезжая из села, велосипедист заметил на мосту пешехода, идущего в том же направлении, и догнал его через 12 мин. Найдите скорость пешехода, если скорость велосипедиста 15 км/ч, а расстояние от села до моста 1 км 800 м.

1233. Выполните действия:

• а) -4,8 • 3,7 - 2,9 • 8,7 - 2,6 • 5,3 + 6,2 • 1,9;
• б) -14,31 : 5,3 - 27,81 : 2,7 + 2,565 : 3,42 + 4,1 • 0,8;
• в) 3,5 • 0,23 - 3,5 • (-0,64) + 0,87 • (-2,5).

Рассказы об истории возникновения и развития математики

С рациональными числами люди, как вы знаете, знакомились постепенно. Вначале при счёте предметов возникли натуральные числа, на первых порах их было немного. Так, ещё недавно у туземцев островов в Торресовом проливе (отделяющем Новую Гвинею от Австралии) были в языке названия только двух чисел: «урапун» (один) и «оказа» (два). Островитяне считали так: «оказа-урапун» (три), «оказа-оказа» (четыре) и т. д. Все числа, начиная с семи, туземцы называли словом, обозначавшим «много».

Учёные полагают, что слово для обозначения сотни появилось более 7000 лет назад, для обозначения тысячи — 6000 лет назад, а 5000 лет тому назад в Древнем Египте и в Древнем Вавилоне появляются названия для громадных чисел — до миллиона. Но долгое время натуральный ряд чисел считался конечным: люди думали, что существует самое большое число.

Величайший древнегреческий математик и физик Архимед (287—212 до н. э.) придумал способ описания громадных чисел, самое большое число, которое умел называть Архимед, было настолько велико, что для его цифровой записи понадобилась бы лента в две тысячи раз длиннее, чем расстояние от Земли до Солнца.

Но записывать такие громадные числа ещё не умели. Это стало возможным только после того, как индийскими математиками в VI в. была придумана цифра нуль и ею стали обозначать отсутствие единиц в разрядах десятичной записи числа.

При разделе добычи и в дальнейшем при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести «ломаные числа» — обыкновенные дроби, действия над дробями ещё в Средние века считались самой сложной областью математики. До сих пор немцы говорят про человека, попавшего в затруднительное положение, что он «попал в дроби».

Чтобы облегчить действия с дробями, были придуманы десятичные дроби. В Европе их ввёл в 1585 г. голландский математик и инженер Симон Cm евин.

Отрицательные числа появились позднее, чем дроби. Долгое время такие числа считали «несуществующими», «ложными» прежде всего из-за того, что принятое истолкование для положительных и отрицательных чисел «имущество — долг» приводило к недоумениям: можно сложить или вычесть «имущества» или «долги», но как понимать произведение или частное «имущества» и «долга»?

Однако, несмотря на такие сомнения и недоумения, правила умножения и деления положительных и отрицательных чисел были предложены в ill в. греческим математиком Диофантом (в виде: «Вычитаемое, умноженное на прибавляемое, даёт вычитаемое; вычитаемое на вычитаемое даёт прибавляемое» и т. д.), а позже индийский математик Бхаскара (XII в.) выразил те же правила в понятиях «имущество», «долг» («Произведение двух имуществ или двух долгов есть имущество; произведение имущества и долга есть долг». То же правило и при делении).

Было установлено, что свойства действий над отрицательными числами те же, что и над положительными (например, сложение и умножение обладают переместительным свойством). И наконец с начала XIX в. отрицательные числа стали равноправными с положительными.

В дальнейшем в математике появились новые числа — иррациональные, комплексные и другие. О них вы узнаете в старших классах.