>>> Перейти на мобильный размер сайта >>>

Учебник для 6 класса

МАТЕМАТИКА

7. Наименьшее общее кратное

Задача. Шаг Володи 75 см, а шаг Кати 60 см. На каком наименьшем расстоянии они оба сделают по целому числу шагов?

Решение. Число сантиметров пути должно делиться без остатка и на 75, и на 60, т. е. оно должно быть кратным и 75, и 60.

Выпишем числа, кратные 75. Получим:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, 750.

Затем выпишем числа, кратные 60. Получим:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660.

Общими кратными чисел 75 и 60 будут числа 300, 600,... .

Наименьшим из них является 300. Это число называют наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Значит, наименьшим расстоянием, на котором Володя и Катя сделают целое число шагов, будет 300 см. При этом Володя сделает 4 шага (300 : 75 = 4), а Катя — 5 шагов (300 : 60 = 5).

Наименьшее общее кратное чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители: 75 = 3 • 5 • 5, а 60 = 2 • 2 • 3 • 5.

Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения второго числа.

Получаем пять множителей 2 • 2 • 3 • 5 • 5, произведение которых равно 300. Это число является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Так же находят наименьшее общее кратное для трёх и более чисел.

Заметим, что если одно изданных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел.

Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные числа.

Вопросы для самопроверки

• Какое число называют наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b?
• Как найти наименьшее общее кратное нескольких чисел?
• Какое число является наименьшим общим кратным чисел m и n., если число m кратно числу n?

Выполните упражнения

179. Найдите разложение на простые множители наименьшего общего кратного чисел а и b, если:

• а) a = 3 • 5, b = 7 • 5;
• б) а = 2 • 2 • 3 • 3 • 5, b = 2 • 2 • 3 • 7.

180. Найдите наименьшее общее кратное чисел а и b, если:

• а) а = 2 • 2 • 3 • 5 • 5 и b = 2 • 3 • 3 • 3 • 5;
• б) о = 3 • 3 • 7 • 7 и b = 2 • 3 • 3 • 5 • 7 • 7;
• в) а = 2 • 2 • 5 • 5 • 11 и b = 2 • 2 • 3 • 5 • 11;
• г) а = 2 • 5 • 5 • 7 и b = 2 • 2 • 5 • 5 • 7.

181. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

• а) 6 и 8;
• б) 12 и 16;
• в) 72 и 99;
• г) 396 и 180;
• д) 34, 51 и 68;
• е) 168, 231 и 60.

182. Являются ли числа 54 и 65 взаимно простыми? Найдите наименьшее общее кратное чисел 54 и 65. Равно ли оно произведению 54 и 65? Запишите какие-нибудь два взаимно простых числа. Найдите наименьшее общее кратное этих чисел. Сделайте вывод.

183. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

• а) 45 и 135;
• б) 34 и 170.

Равно ли оно одному из данных чисел?

184. Вдоль дороги от пункта А поставлены столбы через каждые 45 м. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 60 м друг от друга. Найдите расстояние от пункта А до ближайшего столба, который будет стоять на месте старого, кроме столба в точке А.

185. В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй — 20 суток и третий — 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот же день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем трём маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание?

186. Вычислите устно:

187. Каждую из дробей и , где а и b — натуральные числа, можно представить в виде десятичной. Могут ли а и 5, b и 6 быть взаимно простыми? Могут ли два одинаковых числа быть взаимно простыми?

188. Найдите наибольший общий делитель для числителя и знаменателя дроби:

189. Какие из следующих утверждений верны:

• а) два чётных числа не могут быть взаимно простыми;
• б) чётное и нечётное числа всегда взаимно простые;
• в) два различных простых числа всегда взаимно простые;
• г) простое и составное числа могут быть взаимно простыми;
• д) любое натуральное число и натуральное число, не являющееся ни простым, ни составным, обязательно взаимно простые;
• е) последовательные натуральные числа всегда взаимно простые?

190. Найдите наибольший общий делитель чисел:

• а) 12 и 24;
• б) 6 и 9;
• в) 75 и 45;
• г) 81 и 243;
• д) 4725 и 7875.

191. Лист картона имеет форму прямоугольника, длина которого 48 см, а ширина 40 см. Этот лист надо разрезать без отходов на равные квадраты. Какие наибольшие квадраты можно получить из этого листа?

192. Число m кратно 12. Докажите, что число m делится на 4.

193. Назовите все двузначные числа, записанные одинаковыми цифрами. Найдите наибольший общий делитель всех этих чисел.

194. Сколько трёхзначных чисел можно составить из чётных цифр?

195. Запишите в виде дроби частные: 3 : 7; 5 : 11; 23 : 34.

196. Запишите в виде частного дроби:

197. Запишите в виде обыкновенной дроби частные: 18 : 7; 23 : 8; 16 : 5; 343 : 14 и выделите целые части.

198. Найдите среднее арифметическое чисел: 3,8; 4,2; 3,5; 4,1.

199. Среднее арифметическое двух чисел равно 54. Одно число в 2 раза больше другого. Найдите эти числа.

200. Решите задачу:

1. В цистерне было 38 т керосина. В первый день израсходовали в 2,4 раза больше керосина, чем во второй день. К утру третьего дня в цистерне осталось 9,1 т керосина. Сколько тонн керосина израсходовали в первый день?
2. Утром на базе было 19 т муки. До обеда с базы выдали в 3,2 раза больше муки, чем после обеда. К вечеру на базе осталось 4,3 т муки. Сколько тонн муки выдали с базы до обеда?

201. По таблице простых чисел (см. форзац) подсчитайте, сколько простых чисел в каждой из первых десяти сотен (т. е. среди чисел от 1 до 100, от 101 до 200 и т. д.). Заметили ли вы какие-либо закономерности в расположении простых чисел? Два простых числа, разность которых равна 2, называют близнецами. Найдите в таблице все пары чисел-близнецов. Какие из них самые большие? Сколько таких пар среди первых 500 натуральных чисел? среди чисел от 500 до 1000? Учёные до сих пор не знают, есть ли самая большая пара чисел-близнецов.

202. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

• а) 18 и 45;
• б) 30 и 40;
• в) 210 и 350;
• г) 20, 70 и 15.

203 наименьшее общее кратное чисел а и b, если:

• а) а = 5 • 5 • 7 • 13, b = 5 • 7 • 7 • 13;
• б) а = 504, b = 540.

204. Саша, Коля и Серёжа собрали 51 стакан малины. Серёжа собрал в 2 раза больше малины, чем Саша, а Коля — на 3 стакана больше, чем Саша. Сколько стаканов малины собрал каждый из мальчиков?

205. Масса первых трёх искусственных спутников Земли, запущенных в 1957—1958 гг., была равна 1918,9 кг. Найдите массу каждого из этих спутников, если масса второго была больше массы первого на 424,7 кг, а масса третьего больше массы второго на 818,7 кг.

206. Решите уравнение:

• а) (х + 36,1) • 5,1 = 245,82;
• б) (т - 0,67) • 0,02 = 0,0152;
• в) (х + 24,3) : 18,3 = 3,1;
• г) (у - 15,7) : 19,2 = 4,7.

207. Запишите в виде дроби частные 27 : 8; 72 : 8; 483 : 18; 1225 : 12 и выделите из них целые части.

208. Найдите среднее арифметическое чисел: 5,24; 6,97; 8,56; 7,32 и 6,23.

209. Поезд шёл 3 ч со скоростью 65,2 км/ч и 2 ч со скоростью 83,3 км/ч. Найдите среднюю скорость поезда за эти 5 ч.

210. Найдите значение выражения:

• а) 51 - (3,75 : 3 + 86,45 : 24,7) • 2,4;
• б) (650 000 : 3125 - 196,5) • 3,14.

Рассказы об истории возникновения и развития математики

Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом, например, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) совершенные. Следующие совершенные числа — 496, 8128, 33 550 336. Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвёртое — 8128 — стало известно в I в. н. э. Пятое — 33 550 336 — было найдено в XV в. К 1983 г. было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор учёные не знают, есть ли нечётные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.

Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т. е. простые числа — это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.

Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно — в одних частях ряда их больше, в других — меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа, возникает вопрос: существует ли последнее (самое большое) простое число?

Древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) в своей книге «Начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым числом есть ещё большее простое число.

Для отыскания простых чисел другой греческий математик того же времени Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа от 1 до какого-то числа, а потом вычёркивал единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычёркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2, т. е. 4, б, 8 и т. д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычёркивались через два все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3, т. е. б, 9, 12 и т. д.). В конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа:

Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе, а числа не вычёркивали, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена называют решетом Эратосфена: в этом решете «отсеиваются» простые числа от составных.

Итак, простыми числами от 2 до 60 являются 17 чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59.

Таким способом и в настоящее время составляют таблицы простых чисел, но уже с помощью вычислительных машин.