Учебник для ВУЗов

Начертательная геометрия

4.8. Примеры комплексных задач

Рассмотренные вопросы построения параллельных и перпендикулярных прямых линий и плоскостей позволяют решать комплексные задачи. Рассмотрим некоторые типовые задачи и примеры их решения.

Пример 1 (рис. 4.24). Даны плоскость Р, заданная проекциями e'f', ef и q'h', qh пересекающихся прямых; проекции m'l', ml и m'п', mn пересекающихся прямых ML и MN, проекции a'b', ab и b'i', bi пересекающихся прямых АВ и BI, определяющих плоскость четырехугольника ABCD.

Рис. 4.24

Требуется построить проекции этого четырехугольника, если вершина С лежит на прямой BI и равноудалена от сторон угла NML, а сторона AD параллельна плоскости Р и равна 85 мм.

В данном случае может быть принят, например, следующий план решения (см. рис. 4.25):

• находят проекции с', с вершины С как точки, принадлежащей прямой BI и равноудаленной от сторон угла LMN\
• строят проекции прямой, на которой должна быть расположена сторона AD, как прямой, лежащей в плоскости ABI и параллельной плоскости Р, т. е. как прямой, параллельной линии пересечения этих плоскостей и проходящей через точку А;
• строят проекции a'd' ad стороны AD, для чего на построенной прямой откладывают заданную величину стороны AD и получают точку D;
• проводят сторону CD через построенные точки.

Построения приведены на рисунке 4.25.

Рис. 4.25

Построение проекций с', с вершины С многоугольника, равноудаленной от сторон угла и лежащей на заданной прямой, приведено в левой части рисунка 4.25.

Точки, равноудаленные от сторон угла LMN, лежат в биссекторной плоскости этого угла.

В общем случае для ее построения нужно иметь биссектрису угла и пересекающийся с ней перпендикуляр к плоскости угла.

Эту задачу можно упростить, построив биссекторную плоскость как перпендикулярную к середине равнобедренного треугольника, построенного на сторонах угла.

Для построения проекций 1'2', 1—2 основания равнобедренного треугольника с проекциями 1'm'2', 1—m—2 на проекциях каждой из сторон выбирают произвольные точки, например точки с проекциями 1', 1 и 3', 3. Строят натуральные величины ml и m'З отрезков с проекциями m'1', m—1 и m'З', m—3. На натуральной величине одного из отрезков, например m'3, отмечают натуральную величину другого отрезка — ml (точку 2,[m'2 ] ≅ [m1]). По точке 2 строят проекции m'2', m—2 отрезка, равного по длине отрезку с проекциями m'1', m—1.

Проекцию биссекторной плоскости S угла LMN задают проекциями k'h'2, kh2 горизонтали и k'g', kg фронтали, перпендикулярными к основанию с проекциями 1'2', 1—2 треугольника и проведенными через его середину — точку с проекциями k', k (см. рис. 4.19).

Проекции с', с вершины С на прямой BI находят как проекции точки пересечения этой прямой с плоскостью S. Для этого используют вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость со следом R_h, в которую заключают прямую с проекциями b 'i', bi. Горизонтальную проекцию 4—5 линии пересечения плоскости S с плоскостью R отмечают в пересечении горизонтальных проекций kh₂ и kg и следа R_h. Ее фронтальную проекцию 4'5' строят с помощью линий связи. В точке пересечения проекций 4'5' и b'i' находят фронтальную проекцию с' вершины С, а по ней — горизонтальную проекцию с.

Сторону АВ, параллельную заданной плоскости Р, можно построить как линию, параллельную линии пересечения плоскости многоугольника и плоскости Р, или как линию пересечения плоскости многоугольника со вспомогательной плоскостью Q, параллельной плоскости Ри проходящей через заданную вершину. Построение линии пересечения двух плоскостей в общем случае рассмотрено в 4.2, а для первого случая приведено выше (см. рис. 4.9).

Второй вариант построения приведен на рисунке 4.25. Это построение в данном случае облегчается тем, что одна общая точка плоскости многоугольника и вспомогательной плоскости Q уже имеется (плоскость Q проходит через данную вершину А).

Проекции плоскости Q, параллельной плоскости Р, задают проекциями q₁',h₁', q₁', h₁', и е₁1',f₁' прямых, проходящих через вершину с проекциями а', а и параллельных проекциям q'h', qh и e'f', ef заданных прямых.

Вторую общую точку плоскости Q и плоскости многоугольника находят с помощью вспомогательной, например горизонтальной, плоскости Т, заданной следом Т_v.

С плоскостью многоугольника она пересекается по прямой, проекции которой 6'7', 6—7, с плоскостью Q — по прямой, проекции которой 8'9', 8—9. В пересечении горизонтальных проекций 6—7 и 8—9 этих прямых находят горизонтальную проекцию 10, а по ней фронтальную проекцию 10' искомой общей точки. Через их проекции и проекции а' и а проводят проекции 10'а', 10—а искомой стороны многоугольника. На них отмечают проекции d', d искомой вершины по заданной величине a'D стороны AD (построив предварительно натуральную величину отрезка a'll).

Через построенные точки с', с и d', d проводят проекции cd, c'd' и d'a', da сторон.

Пример 2(рис. 4.26). Даны: плоскость Р, заданная проекциями k'l', kl и k'q', kq пересекающихся прямых; проекции m', m и n', п двух точек; проекции d'e', de и d'i', di пересекающихся прямых и фронтальная проекция а'е' стороны АЕ плоского пятиугольника ABCDE.

Рис. 4.26

Требуется построить проекции этого пятиугольника, если вершина С лежит на прямой DI и равноудалена от точек М и N, а сторона АВ параллельна плоскости Р и равна 70 мм.

В данном случае может быть принят, например, следующий план решения:

• находят проекции с', с вершины С как точки, принадлежащей прямой DI и равноудаленной от точек М и N;
• находят недостающую горизонтальную проекцию а из условия принадлежности точки А плоскости, заданной пересекающимися прямыми с проекциями d'e', de и d'i', di;
• строят проекции a'b', ab стороны АВ (как и стороны AD в примере 1); проводят проекции Ь'с', Ьс стороны ВС через построенные проекции точек.

Рассмотрим из указанных построений только построение на проекциях прямой проекций с', с точки (вершины Q, равноудаленной от двух заданных точек М и N. Множеством точек, равноудаленных от двух заданных точек М и N, является плоскость S, проведенная через середину отрезка MNперпендикулярно к нему. В точке пересечения плоскости S с заданной прямой находят искомую вершину С.

Построение проекций с', с вершины С приведено на рисунке 4.27.

Рис. 4.27 Проекции плоскости S задают проекциями двух главных линий —1'k', 1—k фронтали и 2'k', 2—k горизонтали. Они перпендикулярны к отрезку, заданному проекциями m'n', mn, и проходят через его середину — точки k', k. Проекции с', с точки пересечения прямой DI с плоскостью S находят с помощью фронтально-проецирующей плоскости, задаваемой следом Р_v.

Пример 3 (рис. 4.28). Даны: плоскость, заданная следами Р_v и P_h, проекции m', m, п', п и l', I трех точек и проекции Ь'с', Ьс и Ь'i', bi двух пересекающихся прямых, определяющих плоскость четырехугольника ABCD.

Рис. 4.28

Построить проекции этого четырехугольника, если вершина А равноудалена от точек М, N и L, сторона CD параллельна плоскости Р и равна 85 мм.

План решения в данном случае может быть принят, например, следующий:

• строят проекции а', а вершины как точки заданной плоскости и равноудаленной от трех заданных точек;
• строят проекции c'd', cd стороны (как и стороны AD в примере 1);
• проводят проекции a'd', ad стороны через построенные проекции точек.

Рассмотрим построение на плоскости точки, равноудаленной от трех заданных точек М, N и L. Известно, что точки, равноудаленные от трех заданных точек М, N и L, лежат на перпендикуляре, проведенном из центра описанной окружности, проходящей через точки М, N и L. Точка пересечения перпендикуляра с плоскостью заданного многоугольника является искомой вершиной.

Построение проекций вершины приведено на рисунке 4.29.

Рис. 4.29

Проекции 1'2', 1—2 перпендикуляра строят как проекции линии пересечения плоскостей S и R, являющихся соответственно множеством точек, равноудаленных от точек М и H и от точек N и L. Эти плоскости проводят соответственно перпендикулярно отрезкам с проекциями m'n', mn и l'n', In через их середины — точки с проекциями k', k и f',f.

При построении плоскости S учитывают, что 'точки М и N находятся на одинаковом расстоянии от плоскости V (по условию), поэтому она является фронтально-проецирующей. Ее задают следом S_v.

Плоскость R задают проекциями f'q', fq фронтали и f'g',fg горизонтали. Линию пересечения 1—2, {1'2', 1—2) плоскостей S и R находят по фронтальным проекциям 1' и 2' их общих точек 1 и 2.

Точку пересечения А прямой 1—2 с плоскостью многоугольника находят с помощью вспомогательной горизонтально-проецирующей плоскости Т, проведенной через прямую 1—2. Эта плоскость пересекает плоскость многоугольника по линии с проекциями 3—4, 3'4'. В пересечении проекций 3'4'и 1 '2' находится фронтальная проекция а' и в проекционной связи на проекции 1—2 — горизонтальная проекция а.

Вопросы для контроля

1. Как устанавливают взаимное положение прямой и плоскости?
2. Как строят точку пересечения прямой линии с проецирующей плоскостью?
3. Какая точка из числа расположенных на общем перпендикуляре к горизонтальной плоскости проекций считается видимой на этой плоскости проекций?
4. Как строят линии пересечения двух плоскостей, одна из которых проецирующая?
5. В чем заключается общий способ построения линии пересечения двух плоскостей?
6. В чем заключается в общем случае способ построения точки пересечения прямой с плоскостью?
7. Какие действия и в какой последовательности надо выполнить для построения этой точки (см. вопрос 6)?
8. Как определить видимость при пересечении прямой с плоскостью?
9. Как можно построить прямую пересечения двух плоскостей, если не применять общего способа, рассмотренного в 4.2?
10. Как определить «видимость» в случае взаимного пересечения двух плоскостей?
11. На чем основано построение прямой линии, которая должна быть параллельна некоторой плоскости?
12. Как провести плоскость через прямую параллельно заданной прямой?
13. Чем определяется взаимная параллельность двух плоскостей?
14. Как провести через точку плоскость, параллельную заданной плоскости?
15. Как проверить на чертеже, параллельны ли между собой заданные плоскости?
16. Как располагаются проекции перпендикуляра и плоскости?
17. Как провести плоскость, перпендикулярную к данной прямой (через точку на прямой и через точку вне прямой)?
18. Как провести перпендикуляр из точки на прямую общего положения?
19. Как построить две взаимно перпендикулярные прямые?
20. Как построить взаимно перпендикулярные плоскости?
21. Перпендикулярны ли плоскости общего положения одна к другой, если их одноименные следы взаимно перпендикулярны?
22. Что называется углом между прямой и плоскостью и какие действия надо выполнить для построения на чертеже проекций этого угла?