Учебник для ВУЗов

Начертательная геометрия

9.5. Пересечение прямой линии с поверхностью

Для построения точки пересечения прямой линии (АВ на рис. 9.16) с кривой поверхностью (Q) выполняют следующие построения:

заключают прямую линию во вспомогательную проецирующую плоскость, например плоскость Т;
строят линию пересечения (CD) вспомогательной проецирующей плоскости Т с заданной поверхностью;
определяют точку пересечения (К) прямой (АВ) с построенной линией пересечения (CD).

Рис. 9.16

С замкнутой поверхностью прямая пересекается в двух и более точках. Если прямая пересекает поверхность в одной точке, то она обычно является касательной к поверхности.

Вспомогательную проецирующую плоскость, проводимую через прямую при построении точек пересечения прямой с поверхностью, стремятся выбрать так, чтобы она пересекала поверхность по линии, простейшей для построения на чертеже. Желательно, чтобы это были прямые или окружности.

Рассмотрим некоторые примеры.

Построение точек пересечения прямой линии с цилиндром

Для построения точек пересечения прямой АВ общего положения с поверхностью наклонного кругового цилиндра (рис. 9.17) выберем вспомогательную плоскость, параллельную оси цилиндра. Эта плоскость пересекает цилиндр по прямым — образующим, параллельным оси.

Рис. 9.17

В соответствии с общим планом решения задачи на рисунке 9.17 выполнены построения в следующем порядке:

прямая АВ заключена во вспомогательную плоскость, парал- х лельную оси цилиндра, для чего через проекции m', m произвольной точки М на прямой А В проведены проекции m'n', mn прямой MN, параллельной оси цилиндра. Проекции пересекающихся прямых АВ и MN задают на чертеже вспомогательную плоскость;
построены проекции 3'5', 3—5 и 4'6', 4 — 6 линий пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью цилиндра. Для этого построена горизонтальная проекция линии пересечения вспомогательной плоскости с плоскостью основания цилиндра — плоскостью Н, проходящая через проекции 1 и 2, найдены точки с проекциями 3, 4 ее пересечения с окружностью основания цилиндра. Искомые проекции линий пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью цилиндра проходят через проекции 3', 3 и 4', 4 параллельно проекциям оси цилиндра — проекции 3'5', 3—5 и 4'6', 4 — 6;

Определены проекции k', k и l', l искомых точек К и L пересечения прямой АВ с поверхностью цилиндра в пересечении проекций 3'5' и 4'6' с а'Ь' и 3—5 и 4 — 6 с аЬ;

определена видимость для участков прямой А В с учетом того, что цилиндр непрозрачен. Зоны видимости на фронтальной проекции определены по положению горизонтальных проекций точек 3 и 4 цилиндра. При взгляде по стрелке S очевидно, что точки 3, 5 и соответственно образующая 3—5 видимы, а точки 4, 6 и образующая 4 — 6 невидимы. Соответственно на фронтальной проекции отрезок а'k' проекции прямой видим. Справа от точки k' прямая до точки k' проходит внутри цилиндра и справа от точки l' закрывается цилиндром, т. е. невидима. На горизонтальной проекции образующие 3—5 и 4—6 видимы, невидимая часть прямой АВ — отрезок kl.

Построение точек пересечения прямой линии с конусом

Чертеж конуса (рис. 9.18) с проекциями вершин s, s' и прямой с проекциями a'b', ab приведен на рисунке 9.18, a. Для построения точек пересечения прямой и конуса используют вспомогательную плоскость. Плоскость, проходящая через вершину конуса и заданную прямую (плоскость Р на рис. 9.18, в), пересекает конус по образующим. Плоскость Р пересекает плоскость основания конуса по прямой DE, являющейся в данном случае горизонталью. Образующие, по которым плоскость Р пересекает конус, определяются вершиной S и точками 1 и 2. На этих образующих и получаются точки М и N, в которых прямая пересекает поверхность конуса.

Рис. 9.18

На рисунке 9.18, б плоскость Р задана проекциями a'b', ab прямой АВ и проекциями s'c', sc прямой, в данном случае горизонтальной, проведенной через вершину S, пересекающей прямую АВ в точке С и параллельной плоскости основания конуса. Плоскость Р пересекает плоскость основания конуса по прямой DE, параллельной SC. Построив проекции d' и d, проводим de // sc. Образующие, по которым плоскость Р пересекает поверхность конуса, изображены лишь горизонтальными проекциями s—1 и s—2. В пересечении их с горизонтальной проекцией ab найдены горизонтальные проекции тип точек пересечения, а по ним проекции m' и n'. На горизонтальной проекции отрезок прямой между точками М и N закрыт поверхностью конуса. На фронтальной проекции образующие S—1 и S—2 видимы. Следовательно, невидимый отрезок прямой АВ находится только между проекциями m' и n'.

Построение точки пересечения прямой линии со сферой

Используя вспомогательную секущую плоскость, проходящую через данную прямую (рис. 9.19), получают окружность. Искомые точки К и L получаются при пересечении этой окружности прямой линией. На рисунке 9.19 построения выполнены способом перемены плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекций S выбирают параллельной вспомогательной, например горизонтально-проецирующей плоскости R (R_h). В этом случае линия пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью сферы проецируется на плоскость S в окружность с центром c_s, с которой проекция a_sb_s прямой линии пересекается в точках k_s и l_s. По ним строят горизонтальные k и l и фронтальные k' и l'проекции искомых точек пересечения.

Рис. 9.19

Зоны видимости участков прямой АВ

На фронтальной проекции точки К (k') и L (l') видимы (они на передней полусфере). Следовательно, видимы в проекции лучей а'k' и l'b' прямой. Между точками А;' и /' сфера закрывает прямую. На горизонтальной проекции видимым является луч lb прямой (точка L находится на верхней полусфере). Слева от проекции / горизонтальная проекция прямой закрыта сферой.

Построение точки пересечения прямой линии с тором

Построение выполняют, руководствуясь общим правилом. В качестве вспомогательной плоскости выбирают, например, горизонтально-проецируюхцую плоскость R (R_h).

Построение проекции линии пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью тора (рис. 9.20) начинают обычно с построения проекций характерных точек 1', 1— крайней левой и 2', 2 — крайней правой и 3', 3 — высшей точки. (Характерные точки линии пересечения — это высшие и низшие точки по отношению к плоскости Н; ближайшие и наиболее удаленные точки по отношению к наблюдателю; точки, проекции которых отделяют видимую часть проекции линии пересечения от невидимой; точки, лежащие в плоскости симметрии; точки пересечения трех поверхностей — при наличии трехи более пересекающихся поверхностей.)

Рис. 9.20

Для построения проекции 3' проводят горизонтальную проекцию параллели тора, касательной к плоскости R, и на ее фронтальной проекции находят проекцию 3'. Проекции промежуточных точек линии пересечения, например точки 4', 4, 5\ 5, находят с помощью параллели, проходящей через точку с проекциями k', k. Построенные фронтальные проекции точек соединяют плавной кривой линией, точки пересечения которой m' и n' с фронтальной проекцией а'Ь' прямой А В являются фронтальными проекциями искомых точек пересечения прямой А В с поверхностью тора. По ним в проекционной связи строят горизонтальные проекции m и n точек пересечения. Невидимый отрезок MN прямой АВ проведен штриховой линией.

Вопросы для контроля

Как строят линию пересечения поверхности плоскостью?
По каким линиям пересекаются цилиндр вращения плоскостями?
В каком случае эллипс, получаемый при пересечении цилиндра вращения, ось которого вертикальна, фронтально-проецирующей плоскостью, проецируется на профильную плоскость проекций в окружность?
В чем заключается общий прием построения линии пересечения конической поверхности плоскостью?
Как надо провести плоскость, чтобы пересечь коническую поверхность по прямым линиям?
Какие кривые получаются при пересечении конуса вращения плоскостями?
Как строят малую ось эллипса, получаемого при пересечении конуса вращения плоскостью?
Как строят развертку боковой поверхности конуса вращения?
По каким линиям сферу пересекает любая плоскость и какие могут быть проекции этой линии?
В чем заключается способ построения сечения тора плоскостью?
Как должны быть направлены плоскости, пересекающие тор по окружностям?
Что мы понимаем под названием «кривая (линия) среза»?
В чем заключается общий прием построения точек пересечения прямой линии с кривой поверхностью?
Как провести вспомогательную секущую плоскость при пересечении конуса прямой линией, чтобы получить на поверхности конуса прямые линии?