При изложении настоящего курса для наглядного изображения расположенных в пространстве относительно выбранных плоскостей проекций точек, линий, плоскостей, многогранников, сечений конической поверхности плоскостями использовались проекции, называемые аксонометрическими (от древнегреческого «аксон» — ось, «метрио» — измеряю) или аксонометрией (см. рис. 1.22, 2.1, 3.2, 4.10, 7.3 и др.). Их часто используют для наглядного изображения конструкций приборов, машин на чертеже, особенно на начальных этапах конструирования.
Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что данная фигура вместе с осями прямоугольных координат, к которым она отнесена в пространстве, проецируется параллельно на некоторую плоскость, принятую за плоскость аксонометрических проекций (эту плоскость называют также картинной плоскостью).
При параллельном проецировании, если направление проецирования перпендикулярно к аксонометрической плоскости проекций, аксонометрическую проекцию называют прямоугольной, если направление проецирования не перпендикулярно к плоскости проекций, аксонометрическую проекцию называют косоугольной. В прямоугольной аксонометрической проекции оси присоединенных прямоугольных координат располагают непараллельно плоскости аксонометрических проекций.
Применяемые в отечественной конструкторской документации аксонометрические проекции стандартизованы в ГОСТ 2.317-69.
Рассмотрим образование аксонометрической проекции на примере изображения параллелепипеда с квадратным основанием (рис. 11.1) путем последовательного преобразования его ортогональных проекций вместе с осями. При повороте параллелепипеда (рис. 11.1, а) с осями х и у вокруг оси z по стрелке A на 45° получаем его изображение (рис. 11.1, 6) с повернутыми осями х1 и y1 сохранившейся вертикальной осью z. При повороте изображения на профильной проекции с осями z", x1", у1" по стрелке Б на угол 30° получаем изображение (рис. 11.1, в) с осями z1", х2", у2", расположенными под некоторыми углами к картинной плоскости P(Pw). Параллельная проекция (рис. 11.1, г) по стрелке В на плоскости Р и является аксонометрической проекцией параллелепипеда с осями на плоскости Р. Аксонометрическую плоскость при этом не обозначают (ею является плоскость бумаги).
Рис. 11.1
Проекции осей координат хp, уp, zp на плоскости аксонометрических проекций называют аксонометрическими осями (в дальнейшем индекс «р» будет опускаться).
При различном взаимном расположении осей координат в пространстве и плоскости аксонометрической проекции и при разных направлениях проецирования можно получить множество аксонометрических проекций, отличающихся друг от друга направлением аксонометрических осей и масштабами по ним. Это положение доказано теоремой К. Польке, которая утверждает: три отрезка произвольной длины, лежащие в одной плоскости и выходящие из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на прямоугольных осях координат от начала.
Рассмотрим направление аксонометрических осей и масштабы по ним для направления проецирования, перпендикулярного аксонометрической плоскости проекций, т. е. для прямоугольной аксонометрической проекции.
Коэффициент искажения
На рисунке 11.2 изображена пространственная система ортогональных координат Ox, Оу, Oz, единичные отрезки е на осях координат и их проекции в направлении S на некоторую плоскость Р, являющуюся аксонометрической плоскостью проекций. Проекции еx, еy, еz отрезка е на соответствующих аксонометрических осях Оpхp, Оpуp, Opzp в общем случае не равны отрезку е и не равны между собой. Отрезки еx, еy, еz являются единицами измерения по аксонометрическим осям — аксонометрическими единицами (аксонометрическими масштабами).
Рис. 11.2
Отношения
называют коэффициентами искажения по аксонометрическим осям.
В частном случае положение картинной плоскости можно выбрать таким, что аксонометрические единицы — отрезки ех, еy, еz — будут все равны между собой или будет равна между собой пара этих отрезков.
При ех = еy = еz (k = m = n) аксонометрическую проекцию называют изометрической; искажения по всем осям в ней одинаковы. При равенстве аксонометрических единиц по двум осям, обычно при ех= еz ≠ еz (к = п ≠ m), имеем диметрическую проекцию. Если ех ≠ еy ≠ еz, то проекцию называют три-метрической.
Картинная плоскость Р на рисунке 11.3 изображена так, что она пересекает все три координатные оси Oх, Оy, Oz в точках х, у, z соответственно. Рассмотрим прямоугольную аксонометрию. В этом случае отрезок ООp перпендикулярен плоскости Р. Отрезки Оpх,-Оpу, Opz являются аксонометрическими проекциями отрезков Ох, Оу, Oz и представляют собой катеты прямоугольных треугольников, гипотенузы которых — отрезки Ox, Оу, Oz. Обозначим углы между осями координат и их проекциями на плоскости Р через α, β, γ.
Рис. 11.3
Тогда
Эти отношения являются коэффициентами искажения, т. е.
k = cos α; m = cos β; n = cos γ.
Известно, что для отрезка ООp ⊥ Р сумма квадратов направляющих косинусов равна единице:
т. e. сумма квадратов коэффициентов искажения равна 2.
Изометрическая проекция
В изометрической проекции все коэффициенты равны между собой:
k = m = п; k2 + m2 + п2 = 2.
Тогда
Зk2= 2,
откуда
Следовательно, при построении изометрической проекции размеры предмета, откладываемые по аксонометрическим осям, умножают на 0,82. Такой перерасчет размеров неудобен. Поэтому изометрическую проекцию для упрощения, как правило, выполняют без уменьшения размеров (искажения) по осям x, у, z, т. е. используют приведенный коэффициент искажения, который принимают равным 1. Получаемое при этом изображение предмета в изометрической проекции имеет несколько большие размеры, чем в действительности. Увеличение в этом случае составляет 22% (выражается числом 1,22 = 1: 0,82).
Каждый отрезок, направленный по осям х, у, z или параллельно им, сохраняет свою величину.
Рис. 11.4
Расположение осей изометрической проекции показано на рисунке 11.4. На рисунках 11.5, а, 11.6, а показаны ортогональные, а на рисунках 11.5, б, 11.6, б — изометрические проекции точки А и отрезка А В.
Рис. 11.5
Рис. 11.6
Шестигранная призма в изометрии
Построение шестигранной призмы по данному чертежу в системе ортогональных проекций (слева на рис. 11.7) приведено на рисунке 11.7. На изометрической оси z откладывают высоту Н, проводят линии, параллельные осям х и у. Отмечают на линии, параллельной оси х, положение точек 1 и 4.
Для построения точки 2 определяют координаты этой точки на чертеже — х2 и у2 — и, откладывая эти координаты на аксонометрическом изображении, строят точку 2. Таким же образом строят точки 3, 5 и 6.
Рис. 11.7
Построение точки верхнего основания соединяют между собой, проводят ребро из точки 1 до пересечения с осью х, затем — ребра из точек 2, 3, 6. Ребра нижнего основания проводят параллельно ребрам верхнего. Построение точки А, расположенной на боковой грани, по координатам хA (или уA) и ZA очевидно из рисунка 11.7.
Диметрическая проекция
Коэффициенты искажения в диметрической проекции выбирают следующими:
k = n; m = 1/2 k
Тогда
2k++ 1/4 k+; k = ½ 8/9 = 0,94; m = 0,47.
В целях упрощения построений, как и в изометрических проекциях, приведенный коэффициент искажения по осям х и z принимают равным 1; по оси у коэффициент искажения равен 0,5. По осям х и z или параллельно им все размеры откладывают в натуральную величину, по оси у размеры уменьшают вдвое.
Увеличение в этом случае составляет 6% (выражается числом 1,06 = 1:0,94).
Расположение осей Ох и Оу в диметрической проекции показано на рисунке 11.8. С достаточной для практических целей точностью оси хну строят по тангенсам углов:
tg 7°10' = 1/8; tg 42°25'= 7/8.
Рис. 11.8
Продолжение оси у за центр Оp является биссектрисой угла xOpz, что также может быть использовано для построения оси у.
Аксонометрические изображения окружности
Окружности в аксонометрической проекции приведены на рисунке 11.9 (построение предложено Ю.Б. Ивановым), в диметрической — на рисунке 11.10 с указанием соответствующих значений величин осей эллипсов для приведенных коэффициентов искажения, равных 1.
Большая ось эллипсов расположена под углом 90° для эллипсов, лежащих:
в плоскости xOz — к оси у,
в плоскости yOz — к оси х,
в плоскости хОу — к оси z.
При выполнении аксонометрического изображения от руки (как рисунка) построение эллипсов, как в изометрии, так и в диметрии, выполняют по 8 точкам. Например, по точкам 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 (см. рис. 11.9). Точки 1, 2, 3 и 4 находят на соответствующих аксонометрических осях, а точки 5, 6, 7 и 8 строят по величинам соответствующих большой и малой осей эллипса.
Рис. 11.9
При выполнении же аксонометрического изображения чертежным инструментом построение эллипсов в диметрической проекции также производят по 8 точкам, а эллипсы в изометрической проекции можно заменять овалами и строить их следующим образом. Построение показано на рисунке 11.9 на примере эллипса, лежащего в плоскости xOz. Из точки 1 как из центра делают засечку радиусом R = D на продолжении малой оси эллипса в точке О1 (строят также аналогичным образом и симметричную ей точку, которая на чертеже не показана). Из точки O2 как из центра проводят дугу CSC радиуса D, которая является одной из дуг, составляющих контур эллипса. Из точки O2 как из центра проводят дугу радиуса O2S до пересечения с большой осью эллипса в точках О3. Проводя через точки О1, О3 прямую, находят в пересечении с дугой CSC точку К, которая определяет О3К — величину радиуса замыкающей дуги овала. Точки К являются также точками сопряжения дуг, составляющих овал.
Рис. 11.10
Аксонометрия цилиндра
Аксонометрические изображения цилиндра определяются аксонометрическими изображениями окружностей его оснований. Построение в изометрии цилиндра высотой Н по ортогональному чертежу (рис. 11.11 слева) и точки Сна его боковой поверхности показано на рисунке 11.11 справа.
Рис. 11.11
Пример построения в изометрической проекции круглого фланца с четырьмя цилиндрическими отверстиями и одним треугольным приведен на рисунке 11.12. При построении осей цилиндрических отверстий, а также ребер треугольного отверстия использованы их координаты, например координаты x0 и у0.
Рис. 11.12
Аксонометрическое изображение сферы и способ вписывания сферических поверхностей
В прямоугольной аксонометрии поверхность сферы проецируется на аксонометрическую плоскость проекций в виде круга. Это позволяет использовать сферу для построения аксонометрических проекций тех фигур, в которые могут быть вписаны сферические поверхности. Так, например, аксонометрия поверхности вращения в этом случае может быть построена как огибающая сфер, вписанных в эту поверхность.
Построение аксонометрических изображений деталей
Положение предмета в изометрической и диметрической проекциях выбирают в зависимости от его форм и соотношения размеров. Так, детали, имеющие продолговатую (удлиненную) форму, выполняют обычно в диметрии. При этом наибольший размер располагают вдоль осей х или z, по которым размеры не уменьшаются. В диметрии также предпочтительно выполнять детали, поверхности которых ограничены горизон-тально-проецирующими или фронтально - проецирующими плоскостями, расположенными под углом 45° к плоскости V и Н соответственно, так как эти плоскости в изометрической проекции изображаются в виде вертикальных прямых.
Внутренние формы деталей в аксонометрических проекциях выявляют «вырезом» передней части детали.
Рациональная последовательность построения аксонометрической проекции по имеющемуся эскизу или чертежу (например, рис. 11.13, а) следующая:
определяют вид аксонометрической проекции для изображения данного предмета — изометрия или диметрия. Деталь, показанную на рисунке 11.13, д, целесообразно изображать в диметрической проекции — рисунок 11.13, б, в, г. Выбирают достаточное место для изображения и отмечают начало координат Оp;
проводят аксонометрические оси под установленными углами (см. рис. 11.6 и 11.8) из начала координат и строят (рис. 11.13, б) сечения предмета в плоскостях yOpz и xOpz. Координаты точек сечений, выполняемых в плоскостях yOpz и xOpz, берут соответственно на профильном и фронтальном разрезах чертежа;
строят (рис. 11.13, в) изображение верхней части детали, видимых внутренних элементов, наружные боковые поверхности;
достраивают боковые элементы крепления (см. рис. 11.13, г).
Рис. 11.13
Пример рациональной последовательности построения изометрической проекции детали приведен на рисунке 11.14, а, б, в.
Рис. 11.14
Косоугольная фронтальная диметрическая проекция
Из косоугольных аксонометрических проекций рассмотрим фронтальную диметрическую проекцию, широко используемую в учебном процессе. Положение аксонометрических осей для нее приведено на рисунке 11.15. Допускается применять фронтальные диметрические проекции с углом наклона оси y 30° и 60°. Коэффициент искажения по оси у равен 0,5, по осям х и z — 1.
Рис. 11.15
Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в окружность. Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных горизонтальной и профильной плоскостям проекций, — в эллипсы (рис. 11.16). Большая ось эллипсов 2 к 3 равна 1,07, малая ось — 0,33 диаметра окружности.
Рис. 11.16
Пример косоугольной фронтальной димет-рической проекции детали приведен на рисунке 11.17.
Рис. 11.17
Вопросы для контроля
В чем заключается способ аксонометрического проецирования?
Что называют коэффициентами (или показателями) искажения?
Как производится переход от прямоугольных координат к аксоно метрическим?
В каких случаях аксонометрическую проекцию называют:
изометрической;
диметрической;
триметрической?
Чему равна сумма квадратов коэффициентов искажения для прямоугольной аксонометрической проекции?
Чему равны коэффициенты искажения в прямоугольной проекции: а) изометрической; б) диметрической (при соотношении коэффициентов 1:0,5:1) — и каковы эти коэффициенты в приведенном (к единице) виде?
Как строят оси в прямоугольных проекциях:
изометрической;
диметрической (1:0, 5:1)?
Как определяют направление и величину малой оси эллипса, являющегося изометрической или диметрической проекцией окружности, расположенной в плоскостях: общего положения; фронтально-проецирующей и горизонтально-проецирующей; фронтальной, горизонтальной и профильной?
Как определить координаты точек, заданных в прямоугольной аксонометрической проекции, на поверхности сферы, цилиндра и конуса вращения?
