Учебник для ВУЗов

Начертательная геометрия

1.5. Проецирование на три взаимно перпендикулярные плоскости проекций

Для полного выявления наружных и внутренних форм сложных деталей и их соединений, для решения ряда задач бывает необходимо три и даже более изображений. Поэтому вводят три и более плоскостей проекций.

Система V, Н, W

Введем в систему V, H третью вертикальную плоскость проекций (рис. 1.18), перпендикулярную к оси х и соответственно к фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций. Ее называют профильной плоскостью проекций и обозначают W (см. также рис. 1.12). Такую систему плоскостей проекций называют системой V, Н, W. В этой системе оси проекций z и у являются линиями пересечения профильной плоскости проекций с фронтальной и горизонтальной. Точка О — пересечение всех трех осей проекций.

Рис. 1.18

Схема совмещения трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций в одну плоскость чертежа показана на рисунке 1.19.

Рис. 1.19

При этом ось у занимает два положения. Наглядное изображение некоторой точки А и ее проекции а', а, а" в системе V, Н, W приведено на рисунке 1.20, ее чертеж — на рисунке 1.21.

Рис. 1.20

Профильной проекцией точки называется прямоугольная проекция точки на профильной плоскости проекций (например, проекция а" на рис. 1.21). Фронтальная и профильная проекции точки (а' и а") лежат на одной линии связи (а'а"), перпендикулярной оси z. Профильную проекцию точки строят несколькими способами (рис. 1.21).

Рис. 1.21

Через фронтальную проекцию проводят линию связи, перпендикулярную к оси z, и от оси z отмечают координату у_a (отрезок аа_z).

Это построение можно выполнить также с помощью дуги окружности, проведенной из центра О, или с помощью прямой, проведенной под углом 45° к оси у. Первый из указанных способов предпочтителен как более точный.

Точки в четвертях и октантах пространства

Необходимость использования четвертей и октантов пространства возникает при решении некоторых задач, например при нахождении проекций точки пересечения прямых или прямой и плоскости, которые пересекаются за пределами первого октанта. Плоскости V и Н при пересечении образуют четыре двугранных угла, которые называют квадрантами или четвертями пространства. На рисунке 1.22, а указан принятый порядок отсчета четвертей I, II, III, IV. Ось проекций делит плоскости Ки Яна полуплоскости, условно обозначаемые Н и — Н, V и — К На рисунке 1.22, б приведен чертеж точек А, В, С, D, Е, расположенных в различных четвертях пространства (рис. 1.22, а).

Рис. 1.22

Точка А расположена в первой четверти. Ее проекции на чертеже (рис. 1.22, б) аналогичны чертежу на рисунке 1.17. Точка В ближе к V, чем к — H; на чертеже bb_x<b'b_x. Точка С одинаково удалена от — H и от V; проекции с' и с совпадают между собой. Точка D расположена в третьей четверти. Горизонтальная проекция d получается над осью проекций, фронтальная d'— под осью проекций. Точка D расположена от — V дальше, чем от — H, поэтому на чертеже dd_x>d'd_x. Точка Е расположена в четвертой четверти. Точка Е ближе к H, чем к — V; е'е_x<ее_x. Точка F (на рис. 1.22, а не показана) одинаково удалена от — V и от H, поэтому ее фронтальная ƒ' и горизонтальная ƒ проекции совпадают.

Система из трех плоскостей проекций показана на рисунке 1.23. В своем пересечении они образуют восемь трехгранных углов — восемь октантов. Их нумерация — I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII — приведена на рисунке 1.23. Из рисунков 1.22, а и 1.23 видно, что четверти пространства нумеруются как I—IV октанты.

Рис. 1.23

Система знаков для отсчета координат х, у, z точек в октантах (в соответствии с рис. 1.23) будет следующая:

октант I (+, +, +);
октант II (+, —, +);
октант III (+, —, —);
октант IV (+, +, —);
октант V (—, +, +);
октант VI (—, —, +);
октант VII (—, —, —);
октант VIII (—, +, —).

Например, точка (—25; +15; —10) находится в октанте VIII, а точка (—25; —10; —10) — в октанте VII.

Проекции точки, расположенной в I октанте, не могут наложиться одна на другую. Это же относится к точкам, расположенным в VII октанте. Для остальных октантов две или все три (для II и VIII октантов) проекции одной и той же точки могут оказаться наложенными друга на друга.

Трехмерное пространство, в котором действуют аксиомы Евклида (III в. до н. э.), стали называть евклидовым пространством.