Учебник для 10-11 классов

ФИЗИКА

§ 1.20. Связь между напряженностью электростатического поля и разностью потенциалов. Эквипотенциальные поверхности

• Между напряженностью электростатического поля и изменением потенциала существует однозначная связь.

Напряженность и разность потенциалов

Работа поля при малом перемещении Δ заряда q равна:

где α — угол между векторами и Δ, а Е_l — проекция вектора на направление Δ (рис. 1.82).

Перемещение должно быть настолько малым, чтобы значение вектора было одинаковым на всем перемещении Δ.

Рис. 1.82

С другой стороны, согласно уравнению (1.19.6),

где Δφ = φ₂ - φ₁ — изменение потенциала при перемещении заряда из точки 1 в точку 2 (см. рис. 1.82). Приравнивая выражения для работы (1.20.1) и (1.20.2), найдем:

Следовательно, зная напряженность поля в каждой точке, можно вычислить изменение потенциала между любыми точками. А зная изменение потенциала между любыми сколь угодно близкими точками в поле, связанными вектором перемещения Δ, можно найти проекцию напряженности поля на направление Δ:

Используя выражение для работы (1.18.1) в форме скалярного произведения, можно получить выражение для проекции напряженности электрического поля на ось X:

Здесь Δφ — изменение потенциала между точками с координатами x₁ и х₂ (Δx = х₂- x₁).

Аналогичные выражения можно написать для проекций напряженности поля на другие оси координат.

В случае однородного поля перемещение Δl или изменение координаты Δx в формулах (1.20.4) и (1.20.5) могут быть любыми. Если вместо изменения потенциала использовать разность потенциалов U = -Δφ, то эти формулы можно записать так:

Формулы (1.20.4), (1.20.5) или (1.20.6) показывают, что чем меньше меняется потенциал на расстоянии Δl или Δx, тем меньше напряженность электрического поля. Если потенциал не меняется совсем, то напряженность поля равна нулю.

Напряженность электростатического поля направлена в сторону убывания потенциала. Действительно, если φ(x₂) < φ(х₁), то, согласно формуле (1.20.5), Е_x > 0. Это и означает, что напряженность поля направлена от точки с координатой х₁ к точке с координатой x₂.

Единица напряженности электрического поля

Единицу напряженности электрического поля в СИ устанавливают на основе единицы разности потенциалов. Для этого можно использовать формулу (1.20.6) для случая, когда вектор Δ совпадает по направлению с вектором и

Напряженность электрического поля равна единице, если разность потенциалов между двумя точками на расстоянии 1 м в однородном поле равна 1 В. Наименование этой единицы — вольт на метр (В/м).

Как уже говорилось, напряженность можно также выражать в ньютонах на кулон. Действительно,

Эквипотенциальные поверхности

При перемещении заряда под углом 90° к линиям напряженности электрическое поле не совершает работы, так как сила перпендикулярна перемещению. Значит, если провести поверхность, перпендикулярную в каждой точке линиям напряженности, то при перемещении заряда вдоль этой поверхности работа не совершается. А это, в свою очередь, означает, что все точки поверхности, перпендикулярной линиям напряженности, имеют один и тот же потенциал. Поверхности равного потенциала называют эквипотенциальными.

Эквипотенциальные поверхности однородного поля представляют собой плоскости (рис. 1.83), а поля точечного заряда — концентрические сферы (рис. 1.84).

Рис. 1.83 и 1.84

Эквипотенциальные поверхности диполя изображены на рисунке 1.85.

Рис. 1.85

Подобно линиям напряженности, эквипотенциальные поверхности качественно характеризуют распределение поля в пространстве. Вектор напряженности перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и направлен в сторону уменьшения потенциала. Это особенно очевидно на примере поля точечного положительного заряда. Потенциал убывает по мере удаления от заряда, и напряженность поля направлена от заряда вдоль радиусов концентрических сфер (см. рис. 1.84). Чем больше напряженность поля, тем меньше расстояния между соседними эквипотенциальными поверхностями.

Эквипотенциальной является поверхность любого проводника в электростатическом поле. Ведь силовые линии поля перпендикулярны поверхностям проводника. Причем не только поверхность, но и все точки внутри проводника имеют один и тот же потенциал. Напряженность поля внутри проводника равна нулю, значит, равна нулю и разность потенциалов между любыми точками проводника.

Две характеристики электростатического поля

Разность потенциалов в двух точках — это количественная характеристика поля, равноценная напряженности. Обе характеристики связаны однозначно. Напряженность поля (х, у, z) — функция координат точки. Она определяет силу, действующую на заряд. Поле полностью задано, если известно значение в каждой его точке. Разность потенциалов φ(х₁, у₁, z₁) - φ(х₂, y₂, z₂) — функция координат двух точек. Она определяет работу по перемещению заряда между этими точками. Поле полностью задано, если известно значение разности потенциалов между двумя любыми точками.

Какой же смысл имеет введение еще одной характеристики поля наряду с напряженностью? (Тем более что она менее наглядна, чем напряженность.) Дело в том, что потенциал или разность потенциалов в качестве характеристики поля имеет ряд преимуществ.

1. Напряженность поля — вектор, значение которого определяется полностью тремя независимыми величинами — проекциями вектора на координатные оси. Потенциал — скаляр. Для задания его нужна только одна величина.
2. Подобно тому как опасность со стороны падающего камня непосредственно определяется не силой тяжести, действующей на камень у поверхности Земли, а соверпхенной полем силы тяжести работой, многие процессы определяются не напряженностъю электрического поля в данном месте, а разностью потенциалов. В частности, разностью потенциалов определяется такая важная величина, как сила тока.
3. Разность потенциалов гораздо легче измерить, чем напряженность поля. Для определения напряженности поля нужно измерить силу, действующую на заряженный шарик. Для этого шарик следует закрепить на пружинках и фиксировать деформацию пружинок при действии поля на заряд. В следующем параграфе мы узнаем, что для измерения разности потенциалов ничего подобного не нужно.

Вопросы для самопроверки

1. Обязательно ли потенциал отрицательного заряда меньше нуля?
2. Потенциал электростатического поля возрастает в направлении снизу вверх. Куда направлен вектор напряженности поля?
3. Одинаковы ли потенциалы двух точек заряженного диэлектрика?
4. Незаряженный проводящий шар поместили в однородное электрическое поле. Как будут выглядеть эквипотенциальные поверхности поля?